Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.
Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.
Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани. Истинные размеры ребер граней, если они спроецированы не в натуральную величину, находят способами вращения или перемены плоскостей проекций (проецированием на дополнительную плоскость), приведенными в предыдущем параграфе.
Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.
Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная прямая шестиугольная призма (рис. 176, а). Все боковые грани призмы - прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.
Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.
Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 176, б). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 173, в) истинную длину наклонного ребра SA, равную s"a` 1 (рис. 176, б), из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s"a` 1 . На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 176, в). Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом Rh равным образующей конуса sfd, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора, равна приблизительно
Вам понадобится
- Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур
Инструкция
На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.
Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .
От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.
От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.
Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.
Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.
Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.
16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров .
Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.
Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.
Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.
Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а - два вида; б - развертка поверхностей
Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.
Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.
Рис. 140. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей
16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды .
Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).
Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а - два вида; б - развертка поверхностей
Построения выполняются так:
- Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.
Точку s" соединяют с концевыми точками дуги.
- К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.
Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.
Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D - диаметр окружности основания, L -длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.
Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а - два вида; б - развертка поверхностей
Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б):
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением выносят специальный знак. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирнои с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».
- Как построить чертеж развертки поверхностей цилиндра?
- Какие надписи наносят на чертежах разверток поверхностей предметов?
МБОУ Бейская средняя общеобразовательная школа-интернат
среднего (полного) общего образования
Преподаватель – организатор ОБЖ Маланчик Павел Иванович.
План - конспект урока по черчению для 8 класса
Тема урока : Чертежи разверток поверхностей геометрических тел
Цель урока : Научить выполнять проецирование предмета на 3 плоскости. Развивать пространственное мышление. Воспитывать аккуратность при выполнении чертежей.
Методы : Беседа, объяснение, демонстрация, самостоятельная работа.
Оборудование : Учебник, плакат, чертежные инструменты, модели.
Тип урока : Изучение нового материала
Структура урока
Орг. момент – 2-3 мин.
Анализ графической работы – 5 мин.
Новый материал – 10 мин.
Закрепление - 25 мин.
Заключительная часть – 3 мин.
Ход урока
Орг. момент.
Здравствуйте, садитесь.
Тема сегодняшнего урока – «Чертежи разверток поверхностей геометрических тел ». Запишите её в тетрадь чертёжным шрифтом (тема написана на доске), а я в это время раздам вам ваши работы.
Постановка цели урока, мотивация предстоящей деятельности, (желательно чтобы цели своей деятельности на уроке поставили сами дети, человека два – три достаточно
Анализ выполнения графической работы.
Общие ошибки вынести на доску, отметить лучшие работы.
Новый материал
Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров.
В ходе объяснения демонстрировать вырезанные развёртки, показать развёртки выполненные детьми в прошедшие годы.
Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.
Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.
Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой /i, a основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.
Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.
Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.
Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды.
Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, б).
Построения выполняются так:
1. Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.
Точку s соединяют с концевыми точками дуги. 2. К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.
Длину окружности при построении сектора можно определить
по формуле С = nD.
Угол а подсчитывают по формуле 
,
d - диаметр окружности основания,
R - длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.
Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так
(рис. 142, б).
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса R, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением пишут «Развертка» с чертой внизу. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирной с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».
Построение разверток выполняется обычно графическими приемами, с применением способов, предлагаемых начертательной геометрией.
Поверхности деталей, ограниченных плоскостями или развертывающимися кривыми поверхностями, могут быть развернуты и совмещены с плоскостью точно. В этом случае на развертке сохраняются точки (отрезки), лежащие на поверхности, причем каждой точке (отрезку прямой) на развертке соответствует вполне определенная и единственная точка (отрезок прямой) на поверхности детали, и наоборот.
На рисунке изображены развертки поверхностей многогранных тел и тел вращения.
Построение развертки поверхности многогранника сводится к определению натуральной величины каждой его грани. Сначала вычерчивают развертку боковой поверхности, затем к одной из граней присоединяют основания многогранника (одно или два - в зависимости от того, призма это или пирамида
Примеры разверток многогранников и тел вращения
Закрепление
Совместно с детьми выполнить и оформить развёртки геометрических тел:
Цилиндра, Конуса, Призмы, Пирамиды.
В ходе построения ещё раз остановиться на особенностях выполнения этой работы. Демонстрировать вырезанные развёртки, показать развёртки выполненные детьми в прошедшие годы.
Заключительная часть
Подведение итога.
Что вам понравилось на сегодняшнем уроке?
Что вас не устраивало на этом уроке (темп, объём и т. п.)?
Добились ли вы поставленных целей? Все ли успели выполнить работу?
Что усвоили? (здесь возможно стоит задать вопросы, смотря по времени)
Домашняя работа : Выполнить развёртку и склеить её. (Любое геометрическое тело на выбор, размеры h – не менее 70мм
Конспект урока черчения.
Тема: Чертежи разверток некоторых геометрических тел.
Цели:
- закрепить понятиегеометрические тела;
Способствовать самостоятельному изучению построению разверток геометрических тел;
Развивать пространственные представления и мышление, умение работать с информационными источниками;
Воспитывать чувство времени, ответственности в коллективе.
Тип урока: урок изучения нового материала
Материальное обеспечение: модели геометрических тел, карточки - задания, учебники, чертежные принадлежности, чертежная бумага.
ХОД УРОКА:
1.Организационная часть.
Очень правильно, очень мудро,
Да не будет помехой лень,
Утром говорить всем: «Доброе … (утро)»,
Ну а днем говорить: «Добрый..(день)».
Просмотр готовности учащихся к уроку.
Готов ли ты начать урок!
Всё ли на месте? Всё ли в порядке:
Книжки, ручки, карандаши и тетрадки?
Есть у нас девиз такой:
Всё, что надо под рукой!
2. Актуализация знаний
На прошлых уроках мы рассмотрели некоторые геометрические тела, научились строить их чертежи. Давайте вспомним, какие геометрические тела бывают?
Я показываю, а учащиеся называют.
Давайте проверим, как вы усвоили пройденный материал.
Каков порядок расположения проекций? (фронтальная, горизонтальная и профильная).
Один работает у доски (Юра), выполняя проекции конуса, а остальные работают самостоятельно в своих тетрадях.
Высота конуса L= 40 мм, а диаметр основания 30 мм.
3. Изучение нового материала.
Сообщение темы урока.
Сегодня мы продолжим работу с геометрическими телами, тема сегодняшнего урока: «Чертежи разверток некоторых геометрических тел».
На уроке мы должны научиться самостоятельно, выполнять развёртку некоторых геометрических тел.
С развёртками поверхностей мы часто встречаемся в обыденной жизни, на производстве, в строительстве. Чтобы изготовить упаковку для сока, конфет, духов, праздничную коробочку или кулёк и т.п., надо уметь строить развёртки поверхностей геометрических тел.
Рассмотрите развёртки упаковок и скажите, из каких геометрических фигур они состоят?
А что же такое развёртка? Откроем учебники на странице 63 и прочитаем определение.
А теперь я покажу вам порядок выполнения развёртки некоторых геометрических тел.
Развёртка поверхности пирамиды.
Для того чтобы выполнить развёртку, давайте определим из каких фигур состоит пирамида.
Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Для построения треугольника необходимо знать величины его сторон. Равные ребра пирамиды служат боковыми сторонами граней (треугольниками). Из произвольной точки описываем дугу радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладываем четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяем прямыми с центром описанной дуги. Затем пристраиваем квадрат, равный основанию пирамиды.
Развёртка поверхностей цилиндра.
Развёртка боковой поверхности цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов. Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая – длине окружности основания.
Длина окружности высчитывается по формуле: L= Пи*D.
На чертеже развёртки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру основания цилиндра.
При оформлении чертежей развёрток над изображением фигуры наносят знак -
Линии сгиба должны проводиться штрихпунктирной линией с двумя точками.
Всё понятно? Для закрепления нового материала выполним по карточкам практическую работу в парах. А один у доски выполнит развёртку куба.
4. Практическая работа в парах. Прежде чем начать работу, скажите, пожалуйста, с какими инструментами и с каким материалом вы будете работать?
5. Подведение итогов.
Что нового узнали на уроке?
С чем познакомились?
Где применяются?
Чему научились?
6. Рефлексия.
Понравился вам урок?
Довольны вы своей работой на уроке?
У вас на парте лежат смайлики.
Выберите того смайлика который соответствует оценки вашей работы на уроке.
7. Оценивание учащихся.
Я вам благодарен за урок, за то, что вы хорошо работали. Надеюсь, что интерес к изучению черчения у вас не угаснет.
До свидания!
Карточка-задание. Развертка цилиндра (страница 65. рис 137).
Высота Н = 40мм, D = 40мм.
Карточка-задание. Развертка пирамиды (страница 64. рис 134).
50мм, А = 40мм.
Карточка-задание. Развертка треугольной призмы (страница 65. рис 136).
Высота призмы Н = 40мм, сторона основания А = 30мм
Карточка-задание. Развертка куба (страница 64. рис 132).
Сторона куба А = 30мм.
