Классическое определение вероятности
Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. Определение вероятностного пространства, алгебры, событий. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов. Число элементарных исходов, когда происходит выбор с возвращением/без возвращения, выборки упорядоченные/неупорядоченные. Связь с задачей подсчета числа размещений дробинок по ячейкам. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов (задача о совпадениях, выигрыш в лотерею). Биномиальное распределение. Мультиномиальное распределение. Многомерное гипергеометрическое распределение.
Условные вероятности. Независимость. Условное математическое ожидание.
Определение условной вероятности, свойства. Формула полной вероятности. Формула Байеса, теорема Байеса. Определение независимости событий. Пример, что из попарное независимости событий вообще говоря не следует их независимости. Схема Бернулли.
Дискретные случайные величины и их характеристики
Распределение случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины. Определение математического ожидания, дисперсии, ковариации и корреляции, свойства. Наилучший в среднеквадратичном линейный прогноз значений одной случайной величины по значений другой случайной величины.
Предельные теоремы
Схема Бернулли. Неравенство Чебышева, следствия. Закон больших чисел Бернулли. Предельные теоремы (локальная, Муавра-Лапласа, Пуассона).
Случайное блуждание
Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты. Принцип отражения. Закон арксинуса.
Мартингалы
Определение. Примеры мартингалов. Определение момента остановки. Тождества Вальда.
Дискретные марковские цепи. Эргодическая теорема.
Общее определение марковского процесса. Определение дискретной марковской цепи. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Однородная марковская цепь. Классификация состояний марковской цепи (несущественные, возвратные, сообщающиеся, нулевые, периодические, эргодические состояния), теорема о "солидарности" их свойств. Неразложимая дискретная марковская цепь. Необходимое и достаточное условие возвратности состояния однородной дискретной марковской цепи. Определение эргодичной дискретной марковской цепи. Стационарное распределение. Эргодическая теорема в случае однородной дискретной марковской цепи.
Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом событий. Аксиоматика Колмогорова. Разные виды сходимости случайных величин.
Аксиоматика Колмогорова. Алгебры и сигма-алгебры. Измеримые пространства (R, B(R)), (Rd, B(Rd)), (R∞, B(R∞)) и (RT, B(RT)), где T - произвольное множество. Примеры дискретных мер, примеры абсолютно непрерывных мер. Многомерное нормальное распределение. Теорема Колмогорова о продолжении мер в (R∞, B(R∞)) (без доказательства). Определение случайной величины и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Построение интеграла Лебега. Математическое ожидание, свойства. Теорема о монотонной сходимости, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Семейство равномерное интегрируемых случайных величин, достаточное условие равномерной интегрируемости. Неравенство Чебышева, Коши-Буняковского, Иенсена, Ляпунова, Гёльдера, Минковского. Теорема Радона-Никодима (без доказательства). Определение условного математического ожидания и условной вероятности, свойства. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин, определения, соотношения разных видов сходимости друг с другом, контрпримеры. Лемма Бореля-Кантелли. Определение характеристической функции, свойства, примеры.
Особенности стохастического моделирования.
Особенности стохастического мод-ия: стохастическое моделирование – моделирование случайных воздействий.
Стохастическое моделирования (СМ) - м оделирование случайных процессов и случайных событий.
Суть СМ – многократное повторение модельных экспериментов с целью получения статистики о свойствах системы, получения данных о свойствах случайных событий и величин.
Цель – в результате СМ для параметров объектов должна быть получена оценка мат ожидания, дисперсии и закона распределения случайной величины.
Понятие случайного события и случайной величины.
Случайным событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события могут быть: Достоверными (событие, которое происходит в каждом опыте). Невозможными (событие, которое в результате опыта произойти не может).
Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации опыта случайным образом, называется случайной величиной .
Характеристики случайных величин и случайных событий.
Характеристики случайного события:
Частота появления события - вероятность появления того или иного события при неограниченном количестве опытов.
Характеристики случайной величины:
Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Плотности распределения вероятности - вид функции, которой определяет закон распределения случайных величин.
Моделирование случайных событий.
Исходные данные:
Вероятность события Pa;
Требуется построить модель события A, которое происходит с вероятностью Pa.
Алгоритм моделирования:
Используется датчик случайных чисел с равномерным законом распределения от 0 до 1:
Randomize(RND) x i . 0<=x i <=1
Если выполняется Xi<=Pa то событие A произошло. В противном случае произошло событие не A.
Моделирование полной группы случайных событий.
Группа несовместимых событий называется полной, если при испытаниях только одно событие произойдет обязательно (алгоритм).
Примеры стохастических моделей.
Модели для прогнозирования изменений состояния автотр. предприятия .
Литература: , .
3. Имитационное моделирование
Понятие имитационного моделирования.
Суть ИМ – компьютерный эксперимент – исследования свойств объекта путем экспериментирования с его компьютерной моделью.
Актуальность имитационного моделирования.
1)моделирование сложных систем (когда аналитически использовать объект невозможно)
2)моделирование действия случайных факторов (необходимо многократное повторение)
3)отсутствие математической модели (при исследовании неизвестных явлений).
4)необходимость получения результатов к определенному сроку (скорее всего самая главная причина)
Примеры задач имитационного моделирования: модели систем массового обслуживания, модели случайных событий, клеточные автоматы, модели сложных систем и т.д.
1. Модели систем массового обслуживания
Схема СМО
Цель СМО : определение оптимальных параметров системы
Пример: очередь в супермаркете
На обслуживание могут поступать заявки с более высоким приоритетом. Пример: бензоколонка (скорая, полиция).
2. Модели случайных событий
Случайным называют событие, которое в результате испытания может наступить, а может и не наступить. Исчерпывающей характеристикой случайного события является вероятность его наступления. Примеры: объемы выпускаемой продукции предприятием каждый день; котировки валют в обменных пунктах; интервал времени до появления очередного клиента, длительность проведения технического обслуживания автомобиля.
3. Клеточные автоматы
Клеточный автомат – система, представляющая собой совокупность одинаковых клеток. Все клетки образуют, так называемую, решетку клеточного автомата. Каждая клетка является конечным автоматом, состояния которого определяются состояниями соседних клеток и ее собственным состоянием. Впервые, идея таких автоматов отмечена в работах Неймана в 1940-х годах.
Пример: игра «Жизнь». Была в 1970 году Джоном Конвэем.
Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.
Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.
Основные признаки
Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:
- Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
- Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
- Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.
Детерминированные и стохастические модели
Для некоторых жизнь представляется чередой для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.
Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.
В теории хаоса
В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.
Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.
Построение
Стохастическая начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.
Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.
Пример
Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:
- Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
- Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
- Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
- Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Концепция и результат
Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.
Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не может иметь катастрофические последствия.
Стохастические модели описывают случайные процессы или ситуации, при этом подразумевается, что случайность тех или иных явлений выражается в терминах вероятности. Так же, как и детерминированные, стохастические модели бывают дискретные и непрерывные.
Непрерывно-стохастические модели
Основной схемой формализованного описания систем, для которых характерны
1) непрерывный характер изменения времени и
2) наличие случайностей в поведении,
служит аппарат систем массового обслуживания. То есть это план математических схем, разработанных для формализации процессов функционирования систем, которые являются процессами обслуживания. Именно для таких систем характерны стохастический характер функционирования (случайное появление заявок на обслуживание), завершение обслуживания в случайные моменты времени, наличие входного и выходного потока заявок, наличие приборов обслуживания, поток событий, существование очереди на обслуживание, определение некоторого порядка обслуживания и т.п.
Как видно из описания моделей такого рода, непрерывно-стахостические модели нам не подходят.
Дискретно-стохастические модели
Данный тип моделей подходит для тех объектов, которые обладают следующими характеристиками:
время в них дискретно
они проявляют статически закономерное случайное поведение.
По данному определению наша модель полностью подходит под описание дискретно-стохастических моделей: по условию время у нас дискретно и мы сделали вывод, что в модели присутствуют случайности. Модели систем такого рода могут быть построены на основе двух схем формализованного описания:
Конечно-разностные уравнения, среди переменных которых используют функции, задающие случайные процессы
Вероятностные автоматы
“Вероятностным автоматом называется дискретный прелбразователь информации, имеющий более одного состояния, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статически” 3
Задание вероятностных автоматов осуществляется таблично или с помощью графов, но их использование на практике возможно лишь путем реализации имитационной модели на ЭВМ (за исключением небольших и несложных моделях, при которых возможны и аналитические расчеты).
Проверим возможность применения вероятностных автоматов к нашей модели:
Случайности в нашей модели есть, но представляется ли возможным вычислить закон распределения?
1.В случае случайной цены?
Да, это равномерное распределение и вероятности всех состояний при определении цены равны.
В случае случайного распределения непроданной продукции?
Это опять равномерное распределение и вероятности найти можно.
Посмотрим, какие входные состояния может принимать система...Оказывается таких состояний бесконечно много, следовательно, вероятностный автомат построить нельзя. А если сделать ограничения на объем выпуска? Это множество будет конечным и вероятностный автомат можно будет построить, но полученная модель, как и в случае предположения о детерминированности системы, будет плохо отражать реальность. Поэтому откажемся от построения вероятностного автомата.
Наиболее удобным в случае дискретно-стохастической схемы формализованного описания представляется решение задачи с помощью конечно-разностных уравнений.
До сих пор мы рассматривали модели с детерминированной топологией сети. При моделировании сложного проекта нередко наиболее гибкими и полезными оказываются сетевые модели со стохастической структурой. Стохастическую сеть определяют как сеть, содержащую альтернативные узлы (состояния), при этом дуги (работы) характеризуются не только вероятностным распределением продолжительности, но и вероятностью их выполнения.
Стохастическая сетевая модель с множеством возможных исходов, являясь дальнейшим развитием традиционных сетей, дает возможность полнее отобразить процесс разработки и создания сложного проекта. Применяемый для анализа стохастических сетевых моделей математический аппарат позволяет вычислять вероятности различных альтернативных исходов, оценивать время их возможной реализации.
Стохастическая сетевая модель есть конечный граф G=(W,А), где W– есть множество детерминированных и альтернативных вершин, отождествляемых с событиями, а технологическая матрица А={p ij } задает множество ориентированных дуг, отождествляемых с работами (или связями). Для стохастических сетей 0£ p ij £ 1, причем p ij =1 определяет работу (i,j) аналогично принятым в традиционных сетях определениям, а
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
Пусть j(t ij) – плотность распределения времени выполнения работы (i,j). М[х] – математическое ожидание случайной величины х.
Вводится условная производящая функция моментов случайной величины t ij как М ij (s)=М[е st ij ], т е.
М ij (s)= ò е st ij j(t ij)dt ij (для непрерывной случайной величины),
å е st ij j(t ij) (для дискретной случайной величины).
В частности, М ij (s)=М[е sа ] = е sа при t ij =а=const, М ij (0)=1.
Для каждой дуги (i,j) определяется Y–функция как
Y ij (s) = p ij М ij (s).
Исходная сеть преобразуется в эквивалентную, используя три базисных преобразования:
· последовательные дуги,
· параллельные дуги,
Для последовательных дуг (рис.7)
Y ik (s) = Y ij (s)Y jk (s).
Для параллельных дуг (рис.8)
Y ij (s) = Y a (s) +Y b (s).
Для петель вида (рис. 9)
Y ij (s) = Y b (s)/.
Комбинируя базисные преобразования, любую сеть можно преобразовать в эквивалентную сеть, состоящую из одной дуги (Е-дуги).
Цель временного анализа стохастической сети состоит в вычислении математического ожидания и дисперсии времени выполнения сети (или любого ее фрагмента) и вероятности выполнения заключительного (или любого другого события) сети.
Здесь используется теория замкнутых потоковых графов, где введенная выше Y–функция трактуется как соответствующий коэффициент пропускания дуги. Для применения результатов этой теории к открытой сети с искомым параметром Y Е (s) вводится дополнительная дуга с параметром Y А (s), соединяющая конечное событие (сток) с начальным (источником).
Затем используется топологическое уравнение для замкнутых графов, известное как правило Мейсона, следующего вида:
1 – åТ(L 1) + åТ(L 2) – åТ(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
где åT(L m) – сумма эквивалентных коэффициентов пропускания для всех возможных петель m–го порядка.
Эквивалентный коэффициент пропускания для петли m–го порядка равен произведению коэффициентов пропускания m не связанных между собой петель первого порядка, т.е.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
Непосредственно из правила Мейсона следует, что 1–Y А (s)Y Е (s)=0 или Y А (s)=1/Y Е (s). Используя данный результат, в топологическом уравнении (10) Y А (s) заменяется на 1/Y Е (s) и затем оно решается относительно Y Е (s), тем самым получается эквивалентная Y–функция для исходной стохастической сети.
Поскольку Y Е (s) = p Е М Е (s), а М Е (0)=1, то p Е =Y Е (0), откуда следует, что
М Е (s)= Y Е (s)/p Е =Y Е (s) /Y Е (0). (11)
После получения аналитического выражения для М Е (s), вычисляют первую и вторую частную производную по s функции М Е (s) в точке s=0, т.е.
m 1E =¶/¶s[М Е (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [М Е (s)] s=0 (13)
Первый момент m 1E относительно начала координат есть математическое ожидание времени выполнения сети (преобразованной в эквивалентную ей Е-дугу), а дисперсия времени выполнения сети равна разности между вторым моментом m 2E и квадратом первого, т.е.
s 2 = m 2E – (m 1E) 2 . (14)
Таким образом, описанный выше аппарат позволяет вычислять временные параметры любых интересующих пользователя событий стохастической сети, а также определять вероятность их наступления.
Используя полученную информацию, можно с помощью неравенства Чебышева оценивать вероятность любых доверительных интервалов времени окончания проекта при произвольных законах распределения времени выполнения отдельных операций. Если время выполнения каждой операции имеет нормальное распределение, то результирующее время также нормально распределено. В этом случае можно получить вероятностные оценки времени выполнения проекта, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа. Кроме того, при достаточно большом числе работ в сети и выполнении некоторых условий (в частности, независимость работ) можно использовать предельную теорему Ляпунова и считать результирующее время выполнения проекта нормально распределенной случайной величиной с характеристиками, вычисленными по выше описанной методике.
Таким образом, стохастическая сетевая модель включает все случайные отклонения и неопределенность, возникающие непосредственно во время выполнения каждой отдельной работы.
3.4. Формализация общей постановки задачи планирования работ при управлении проектами и описание универсальной сетевой модели и задач временного анализа, решаемых на ее основе
В результате анализа и синтеза вышерассмотренных моделей предложена универсальная математическая модель, при этом классические, обобщенные и стохастические сетевые модели являются ее частными случаями.
Данная модель (названная циклическая стохастическая сетевая модель - ЦССМ ) является более гибким и адекватным инструментом для описания процесса управления разработкой сложного проекта.
ЦССМ представляет собой конечный, ориентированный, циклический граф G(W,A), состоящий из множества событий W и дуг (i,j)(события i, jОW), определяемых матрицей смежности А={p ij }. 0Ј p ij Ј1, причем p ij =1 задает детерминированную дугу (i,j), а 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
Обозначим через Т i время свершения i-го события, тогда соотношение между сроками свершения событий, связанных дугой (i,j), задается неравенством:
Т j – Т i і y ij , (15)
где y ij в общем случае случайная величина, распределенная по некоторому закону в интервале от – Ґ до 0 или от 0 до +Ґ.
Кроме того, возможны абсолютные ограничения на момент реализации события i:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
Соотношения (15)-(16) являются обобщением соответствующих неравенств при описании обобщенных сетевых моделей, где параметр y ij и матрица смежности А носят детерминированный характер.
Рассмотрим смысловую нагрузку соотношения (15) при вероятностном характере параметра y ij .
Если (i,j) есть дуга-работа (или ее часть), то положительно распределенная случайная величина y ij задает распределение минимальной продолжительности этой работы (связанной с максимальным насыщением ее определяющим ресурсом). В работе показано, что распределение величины y ij является унимодальным и асимметричным, а данным требованиям удовлетворяет бета-распределение, таким образом, минимальная продолжительность работы есть случайная величина y ij =t min (i,j), распределенная по закону бета-распределения на отрезке [а, b] с плотностью
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
где С определяется из условия
Если же случайная величина y ij в (15), соответствующая дуге-работе (i,j), распределена в интервале от – Ґ до 0, то –y ij =t max (j,i) задает распределение длины максимального временного интервала, на протяжении которого работа (i,j) должна быть начата и окончена даже при минимальном насыщении ее определяющим ресурсом. Для этой величины получили ее распределение аналогичного вида (17). Зная распределение случайной величины y ij для каждой работы (i,j), по соответствующим формулам вычисляются ее математическое ожидание и дисперсия.
Введение в (15) отрицательно распределенных величин y ij для дуг-работ (i,j) существенно расширяет возможности описания временных характеристик работ, делая широко используемую вероятностную модель лишь одним из частных случаев.
Для дуг-связей (i,j) величина y ij задает распределение временной зависимости между событиями i и j, причем положительно распределенная величина y ij определяет взаимосвязь типа «не ранее» (событие j может наступить не раньше, чем через y ij дней после свершения события i), а отрицательно распределенная величина y ij определяет взаимосвязь типа «не позднее» (событие i может наступить не позже, чем через –y ij дней после свершения события j). В последнем случае такие связи называют «обратными».
Таким образом, здесь мы получили обобщение этих связей с учетом возможно вероятностного их характера.
Так как сроки свершения событий Т i определяются суммой продолжительностей работ, технологически им предшествующих, то при достаточно большом числе таких работ в соответствии с центральной предельной теоремой распределение случайной величины Т i стремится к нормальному с параметрами – математическое ожидание MТ i и дисперсия DТ i . Нормальное распределение имеет и параметр y ij , соответствующий «обратным» дугам, что также подтверждается статистическим анализом.
Абсолютные ограничения на сроки свершения событий, заданные (16), отражают соответствующие директивные, организационные и технологические ограничения на сроки выполнения работ или их частей, заданные в «абсолютной» (реальной или условной) шкале времени. Абсолютные ограничения также характеризуются типом «не ранее» или «не позднее» и принимает вид: Т i – Т 0 і l i , Т 0 – Т i і –L i . Таким образом, абсолютные ограничения вида (16) являются частным случаем ограничений вида (15) для определенных дуг-связей.
Введение стохастической матрицы смежности А в сочетании с обобщенными связями дает дополнительные возможности для описания процесса создания сложного проекта.
Пусть L(i,j) – некоторый путь, соединяющий события i и j:
L(i,j)={i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j}. (18)
Этот путь детерминированный , если для всех kО справедливо pi k-1 i k =1, и стохастический , в противном случае. Таким образом, стохастический путь содержит хотя бы одну дугу, вероятность «исполнения» которой строго меньше 1.
Аналогично определяется детерминированный и стохастический контур К(i)={i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i}. (такие события i называются «контурными»).
Если события i и j соединены путем L(i,j), то вероятность свершения события j при условии, что событие i произошло Р(j/i) есть произведение коэффициентов матрицы смежности А, соответствующих дугам связующего пути:
Р(j/i)=Х v k=1 p i k-1 i k . (19)
Если события i и j соединены несколькими путями, то выполняется эквивалентное GERT-преобразование данного фрагмента сети в соответствии с приведенными в работе формулами, вычисляется производящая функция Y ij (s) преобразованного фрагмента, и вероятность свершения события j при условии, что событие i произошло Р(j/i)= Y ij (0).
Первая производная функции Y ij (s)/ Y ij (0) по s в точке s=0 (первый момент m 1 (j/i)) определяет математическое ожидание М(j/i) времени свершения события j относительно времени свершения события i. Вторая производная функции Y ij (s)/ Y ij (0) по s в точке s=0 (второй момент m 2 (j/i)) позволяет вычислить дисперсию времени свершения события j относительно времени свершения события i по формуле
s 2 (j/i) =m 2 (j/i) – (m 1 (j/i)) 2 . (20)
Длина пути L(i,j) есть случайная величина, математическое ожидание которой МL(i,j) есть сумма математических ожиданий длин всех дуг, составляющих данный путь, а дисперсия DL(i,j) равна сумме дисперсий.
При этих условиях длина пути (контура) может принимать отрицательные значения, что интерпретируется следующим образом:
если L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться не позднее чем через –y ji дней после наступления события i. Параметр y ji носит вероятностный характер, что позволяет более гибко (по отношению к циклическим сетевым моделям) описывать логико-временные связи между событиями.
В качестве параметра дуги y ij можно рассматривать также любой характерный параметр, который обладает аддитивностью по дугам любого пути (например, стоимость работы), при этом с помощью эквивалентного GERT-преобразования получим математическое ожидание и дисперсию стоимости фрагмента сети или проекта в целом.
Задачи временного анализа ЦССМ (и алгоритмы их решения) так же, как и временной анализ классических, обобщенных или стохастических сетевых моделей, лежат в основе решения всех задач планирования и управления проектом. Они имеют самостоятельное значение при решении задач управления проектом без учета ограничений на ресурсы.
Задачи временного анализа также необходимы для генерирования различных вариантов плана при определенных значениях вектора наличия ресурсов с целью их последующего сопоставления, оценки качества вариантов плана и выбора направления его дальнейшего улучшения.
При решении задач оптимального планирования работ при управлении проектами алгоритмы временного анализа ЦССМ применяются как инструмент для вычисления необходимых параметров, используемых в соответствующих оптимизационных алгоритмах с целью обеспечения выполнения ограничений технологического характера.
Задача временного анализа ЦССМ сводится к нахождению случайного вектора Т=(Т 0 ,Т 1 ,…,Т n), где Т i есть время свершения i-го события, координаты которого удовлетворяют неравенствам (15),(16) и обращают в экстремум некоторую целевую функцию f(T).
Выделены три класса задач временного анализа :
· классические , в которых для вычисления {Т i } используются математические ожидания продолжительностей всех дуг;
· вероятностные, в которых на основании предельной теоремы Ляпунова или другими аналитическими средствами вычисляются математические ожидания сроков свершения i–х событий – {МТ i }, являющиеся аргументами целевой функции f(T);
· статистические , в которых для заданного уровня достоверности р по методике, описанной в работе, определяются р-квантильные оценки эмпирических распределений как сроков свершения i-х событий – {W p (Т i)}, так и производных от них величин, в том числе и значений целевой функции f(W p (T)), где W p (Т)={W p (Т 0),W p (Т 1),…,W p (Т n)}.
Вводится понятие непротиворечивости ЦССМ.
Циклическая стохастическая сетевая модель называется непротиворечивой, если найдется хотя бы один допустимый план, вычисленный для соответствующего класса задач временного анализа (классического, вероятностного или статистического), удовлетворяющий системе неравенств (15),(16).
Разберем эти три понятия.
Классическая непротиворечивость модели.
Вычисляются математические ожидания продолжительностей всех дуг, после чего образуется сеть с постоянными длинами дуг. Учитывая стохастический характер рассматриваемой модели и наличие обобщенных связей, в ЦССМ после проведенных выше вычислений могут иметь место стохастические и детерминированные контуры. Доказывается следующая теорема:
Теорема 1 . Для того, чтобы циклическая стохастическая модель, в которой продолжительности дуг вычислены по классической схеме, была непротиворечивой с заданной вероятностью a, необходимо и достаточно, чтобы длины всех детерминированных контуров были не положительны.
Вероятностная непротиворечивость модели .
Вычисляются аналитическим способом математическое ожидание МТ i и дисперсия s 2 Т i сроков свершения событий. Вычисленные подобным способом параметры на 15-20% отличаются по величине от вычисленных классическим способом (по математическим ожиданиям продолжительностей дуг).
Будем говорить о вероятностной непротиворечивости модели в среднем , если полученный таким образом набор удовлетворяет неравенствам (15)-(16), где в качестве значения y ij взято ее математическое ожидание. Доказана справедливость следующей теоремы:
Теорема 2 . Для того, чтобы циклическая стохастическая модель была вероятностно непротиворечивой в среднем, необходимо и достаточно, чтобы математические ожидания длин всех детерминированных контуров были не положительны.
В предположении, что Т i имеют нормальное распределение с параметрами: математическое ожидание – МТ i и дисперсия – s 2 Т i , введем более широкое понятие e-вероятностная непротиворечивость модели .
Будем говорить, что ЦССМ e-вероятностно непротиворечива, если существует e > 0, такое, что для всех Т i , удовлетворяющих неравенству
|Т i –МТ i | < e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
Теорема 3 . Для того, чтобы циклическая альтернативная модель была e-вероятностно непротиворечивой, необходимо и достаточно, чтобы математические ожидания длин всех детерминированных контуров удовлетворяли соотношению МL(K(i)) Ј –4e.
Вероятностная непротиворечивость модели в среднем является частным случаем e-вероятностной непротиворечивости при e=0.
Статистическая непротиворечивость модели.
При статистическом методе расчета параметров сетевой модели мы имеем дело с их р-квантильными оценками значений, которые являются теоретико-вероятностными аналогами соответствующих показателей. Говорится, что циклическая стохастическая модель статистически непротиворечива с вероятностью р , если для каждого события i существуют р-квантильные оценки сроков свершения событий W p (Т i), удовлетворяющие неравенствам:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i ЈW p (Т i)ЈL i . (22)
Здесь соотношения (21)-(22) являются вероятностными аналогами (15)-(16), W p (y ij) есть р-квантильная оценка длины дуги (i,j). Доказано следующее:
Теорема 4 . Для того, чтобы циклическая альтернативная модель была статистически непротиворечивой с вероятностью р, необходимо и достаточно, чтобы р-квантильные оценки длин всех детерминированных контуров удовлетворяли соотношению W p (L(K(i))) Ј 0.
Алгоритмы расчета временных параметров ЦССМ.
Планы ранних и поздних сроков.
Для расчета ранних и поздних сроков свершения событий предлагается модифицированный алгоритм «Маятник». Идея модификации заключается в синтезе статистического метода расчета параметров, применяемого для вероятностных сетей, и алгоритма «Маятник», используемого в обобщенных сетях, и последующего применения его для ЦССМ.
 |
|||
 |
|||
 |
Рис.10. Принципиальная блок-схема алгоритма для расчета
р-квантильных оценок ранних сроков свершения событий
Блок 1 . Ввод исходных данных (коэффициентов матрицы А, параметров распределения y ij , уровня достоверности р).
Блок 2 . Вычисление необходимого числа «розыгрышей» N для обеспечения заданной точности результатов. Проделанные расчеты показали, что при р=0.95, e=0.05 получаем N»270.
Блок 3 . v:=v+1 (v – номер «розыгрыша»).
Блок 4 . Розыгрыш v-го варианта случайных величин y ij , каждой в соответствии с ее законом распределения, получение констант y ij (v) – длина дуги (i,j) при v-м розыгрыше.
Блок 5 . Розыгрыш для каждой альтернативной вершины i перехода в смежную вершину j (разыгрывается дискретная случайная величина р ij , представленная i-й строкой матрицы смежности А, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе леммой 1 один и тот же стохастический контур при заданном уровне достоверности р может образоваться не более k раз, где k оценивается по соответствующей формуле. k-кратную длину контура прибавляем к длине дуги, которую мы «разыграли» на (k+1)-м шаге и переходим к анализу другого стохастического контура (если он есть). При этом могут образоваться противоречия в сети (положительные детерминированные контуры), тогда в соответствие с приведенными в работе формулами прибавляем d-кратную длину контура, оценивая тем самым время свершения «выходного» из контура события в среднем.
Блок 6 . Полученную детерминированную обобщенную сеть G (v) разбиваем на две сети G 1 (v) и G 2 (v) , так, чтобы ни G 1 (v) , ни G 2 (v) не содержали контуров. Вершины в сети G 1 (v) упорядочиваем по рангам и в соответствие с ними устанавливаем «правильную» нумерацию. Переносим эту нумерацию на сеть G 2 (v) и на исходную G (v) .
Блок 7 . Для всех вершин i сети G 1 (v) вычисляем ранние сроки свершения
Т i 0(v) :=мах j {Т i 0(v) , Т j 0(v) + y ij (v) }.
Блок 8 . Проделываем процедуры, аналогичные блоку 7, для вершин сети G 2 (v) .
Блок 9 . Если результаты блоков 7 и 8 хоть на одном показателе не совпадают, то возвращаемся к блоку 7 (таких возвратов не более, чем число обратных дуг в G 2 (v)), иначе блок 10.
Блок 10 . Если номер розыгрыша vЈN, то переходим к блоку 4, иначе к блоку 11.
Блок 11 . Из полученной совокупности {Т i 0(v) } для каждой вершины i строим вариационный ряд. Фиксируем такое значение Т i 0(x) , что N x /N=р, где N x – число членов вариационного ряда, меньших Т i 0(x) . Величина Т i 0(x) является искомым р-квантилем раннего срока свершения i-го события – W p (Т i 0). Аналогично, по вариационным рядам {y ij (v) } строим р-квантильные оценки длин дуг – W p (y ij).
На вход блока 6 поступает v-й вариант обобщенной сетевой модели G (v) , и, собственно, блоки 6 – 9 представляют собой укрупненную блок-схему алгоритма «Маятник» для вычисления ранних сроков свершения событий в ОСМ. Применяя соответствующий алгоритм для вычисления поздних сроков свершения событий в блоках 7 и 8, мы получаем Т i 1(v) – поздние сроки свершения событий для v-го варианта обобщенной сетевой модели, при этом блок 11 нам дает W p (Т i 1) – р-квантильные оценки поздних сроков свершения событий.
Планы минимальной продолжительности .
Продолжительность L(Т (v)) любого допустимого плана Т (v) ={Т i (v) } v-го варианта сети G (v) определяется по формуле:
L(Т (v))=мах ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
Заменяя в блок-схеме на рис. 10 блоки 6 – 9 на блок нахождения минимума функции (23), получаем план минимальной продолжительности для сети G (v) (или «сжатый» план). Величина
L(Т* (v))=min мах ij |Т i (v) – Т j (v) | (24)
является критическим временем сети G (v) .
Используя в блоках 6-9 метод нахождения сжатого плана для ОСМ и пропуская полученные планы через блок 11, получаем вероятностные р-квантильные оценки сжатых планов.
Резервам времени для работы (i,j) соответствуют их р-квантильные аналоги, вычисляемые по формулам:
R п p (i,j)= W p (Т j 1) - W p (Т i 0) - W p (y ij) для полного резерва , (25)
R с p (i,j)= W p (Т j 0) - W p (Т i 0) - W p (y ij) для свободного резерва . (26)
По соответствующим формулам вычисляются р-квантильные коэффициенты напряженности работ W p (k н (i,j)), затем определяются р-квантильная критическая зона , р-квантильная зона резервов и р-квантильная промежуточная зона .
В качестве параметра дуги мы рассматривали время выполнения операции (работы). Можно рассматривать также любой характерный параметр, который обладает аддитивностью по дугам любого пути. Это может быть стоимость работы, количество потребного накапливаемого ресурса и т.п.
Следует отметить, что до настоящего времени широкое практическое применение нашли только методы детерминированного сетевого моделирования, некоторые эвристические методы оптимального распределения ресурсов и параметрические методы оценки затрат (преимущественно в сфере воздушных и космических полетов). Хотя точное решение стоимостных задач календарного планирования на основе классических сетевых моделей теоретически найдено (описано в), но его практическое использование сопряжено с трудностью получения фактических данных о зависимостях «время-стоимость».
Каждая из рассмотренных выше моделей имеет свою предметную область, по своему (более или менее полно) реализует базовые функции управления проектом, и только синтез анализируемых моделей и методов позволяет построить модель, адекватно отражающую процесс реализации сложного проекта в условиях неопределенности, и при этом получить приемлемое в решение сформулированной задачи.
Тема 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА ОСНОВЕ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
Общие понятия.
Выше были рассмотрены сетевые модели без учета ограниченности ресурсов, т.е. задача наилучшего распределения ресурсов как таковая не ставилась. В рассмотренных нами методах использования сетевых моделей основное внимание уделялось срокам выполнения отдельных работ и выявлению наиболее важных (критических и подкритических) цепочек работ, от которых зависит своевременное окончание проекта (ввод объекта в эксплуатацию). Таким образом, характерной особенностью этих методов является классификация информации по степени ее важности с точки зрения завершения всего комплекса работ в установленный срок.
Количественной мерой важности информации являются резервы времени работ или коэффициенты напряженности
К ij =1 – R п ij /(T n 0 –Т кр (i,j)), (25)
где R п ij – полный резерв работы (i,j), T n 0 – критическое время выполнения проекта, Т кр (i,j) – продолжительность совпадающего с критическим путем отрезка максимального пути, содержащего работу (i,j). 0 £ К ij £ 1, причем, чем ближе К ij к 1, тем относительно меньше резерва в запасе у работы (i,j), следовательно, выше риск ее невыполнения в заданные сроки. Например, у работы (2,5) (рис.5) Т кр (2,5)=5, R п 25 =3, откуда К 25 =1 –3/(22 – 5)=0.82, а у работы (5,8) Т кр (5,8)=0, R п 58 =12, откуда К 58 =1 –12/(22 – 0)=0.45. Работы могут обладать одинаковыми полными резервами, но степень напряженности сроков их выполнения может быть различна. И наоборот, различным полным резервам могут соответствовать одинаковые коэффициенты напряженности. Имея информацию, классифицированную подобным образом, руководитель проекта в каждый момент времени может определить, на каком участке следует сосредоточить внимание (и ресурсы) для ликвидации намечающихся отклонений от заданного срока завершения всех работ.
Прежде чем наметить дальнейшие пути совершенствования методов сетевого планирования и управления, остановимся подробнее на некоторых основных недостатках, присущих методам, рассмотренным выше.
Давая временную оценку продолжительности какой-либо работы, мы предполагали использование для выполнения этой работы определенных ресурсов с определенной интенсивностью (интенсивность потребления ресурса – это количество ресурса, потребляемое в единицу времени).
В момент назначения временной оценки неизвестно, когда эта работа должна будет выполняться, какие другие работы проекта, потребляющие тот же вид ресурса, будут вестись одновременно. Более того, как правило, одни и те же ресурсы могут потребоваться одновременно на разных проектах. Поэтому не исключено, что суммарная потребность в том или ином ресурсе в отдельные моменты времени может превосходить их наличный уровень. В этих случаях придется или уменьшать интенсивность потребления ресурсов на отдельных работах, либо отложить выполнение ряда работ на более поздние сроки, зачастую за пределы полных резервов этих работ. Это приводит в процессе выполнения проекта к частым корректировкам исходного плана, иными словами, к неустойчивости плана.
Очевидно, если заранее при планировании процесса выполнения проекта учесть ограниченность ресурсов, то можно получить гораздо более надежный план.
Наличный уровень ресурсов и возможные сроки завершения проекта взаимосвязаны. Время завершения всего проекта будет зависеть от того, когда и какое количество ресурсов будет выделено на каждую работу, а это в значительной мере определяется их предполагаемым наличием в каждый момент времени.
Таким образом, возникает задача о распределении ресурсов в сетевой постановке.
Вообще говоря, любой процесс производственного планирования есть ни что иное, как решение задачи об эффективном использовании ресурсов.
Критерии эффективности могут быть различны, на этом важном моменте планирования (выборе и обосновании критерия) мы остановимся несколько ниже при рассмотрении конкретных задач.
Введем некоторые понятия и определения.
· Программой работ назовем определенное множество операций (работ), которое нужно выполнить для достижения одной или нескольких целей, причем выполнение работ программы подчинено единому руководящему центру. Можно говорить о программе работ по пусковому комплексу, программе работ участка, строительной организации, проектного института и т.п.
· Однотемной программой работ будем называть программу, состоящую из одного комплекса технологически взаимосвязанных работ, направленных на достижение одной (одноцелевая тема) или нескольких целей (многоцелевая тема).
· Многотемной программой работ будем называть программу, состоящую из нескольких комплексов работ, технологически взаимосвязанных внутри каждого комплекса. Каждый комплекс работ может иметь одну или несколько конечных целей. Работы, принадлежащие разным комплексам, технологически между собой не связаны. Принадлежность тем одной многотемной программе обуславливается единством управляющего центра и общностью резервуара ресурсов.
Рассмотрим сначала различные постановки задач распределения ресурсов для однотемной одноцелевой программы .
Исходя из двух возможных целевых установок при управлении проектом, описанным сетевой моделью, возможны два основных типа постановки задач. Первый тип ориентирован на жесткое соблюдение ограничений по ресурсам, тогда как второй тип предполагает строгое выполнение сроков завершения проекта.
Формулировка первого типа постановки задачи («калибровка»).
При заданных ограничениях в потреблении ресурсов найти такое их распределение с учетом технологической последовательности ведения работ, определенной топологией сетевого графика, которое обеспечивает завершение всей программы за минимальное время.
Формулировка второго типа постановки задачи («сглаживание»).
При соблюдении заданной продолжительности выполнения программы требуется так распределить ресурсы по отдельным работам, чтобы их потребление было оптимальным. Вопрос о выборе критерия оптимальности для этой постановки будет нами рассмотрен специально.
В силу разного механизма удовлетворения потребности в ресурсах их принято разделять на две группы: накапливаемые (складируемые) и ненакапливаемые (нескладируемые). Вторую группу ресурсов часто называют «ресурсы типа мощности».
К первой группе относятся ресурсы, которые по своему характеру допускают накопление с возможностью их последующего использования, например, денежные средства, различные материалы и конструкции и т.п. Ресурсные ограничения в этом случае могут быть заданы интегральной неубывающей функцией, показывающей в каждый момент времени суммарную величину поставок ресурса за весь предшествующий период.
Ко второй группе относятся ресурсы, накопление которых для последующего использования невозможно. Например, ресурсы рабочего и машинного времени. Простой рабочих и механизмов является безвозвратной потерей. Ресурсные ограничения для этой группы задаются функцией наличия ресурса в каждый момент времени.