Достаточно часто экономические показатели, представленные в виде временного ряда, имеют сложную структуру. Моделирование таких рядов путем построения модели тренда, сезонности и периодической составляющей не приводит к удовлетворительным результатам. Ряд остатков часто имеет статистические закономерности. Наиболее распространенными моделями стационарных рядов являются модели авторегрессии и модели скользящего среднего.

Будем рассматривать класс стационарных временных рядов. Задача состоит в построении модели остатков временного ряда u t и прогнозирования его значений.

Авторегрессионная модель предназначена для описания стационарных временных рядов. Стационарный процесс удовлетворяет уравнению авторегрессии бесконечного порядка с достаточно быстро убывающими коэффициентами. В частности поэтому авторегрессионная модель достаточно высокого порядка может хорошо аппроксимировать почти любой стационарный процесс. В связи с этим модель авторегрессии часто применяется для моделирования остатков в той или иной параметрической модели, например регрессионной модели или модели тренда.

Марковскими называются процессы, в которых состояние объекта в каждый следующий момент времени определяется только состоянием в настоящий момент и не зависит от того, каким путем объект достиг этого состояния. В терминах корреляционного анализа для временных рядов марковский процесс можно описать следующим образом: существует статистически значимая корреляционная связь исходного ряда с рядом, сдвинутым на один временной интервал, и отсутствует с рядами, сдвинутыми на два, три и т. д. временных интервала. В идеальном случае эти коэффициенты корреляции равны нулю.

u (t )=m u (t -1)+e (t ) , (5.1)

где m - числовой коэффициент |m |<1, e (t ) – последовательность случайных величин, образующих «белый шум» (E(e (t ))=0, E(e (t )e (t +t))=).

Модель (5.1) называется также марковским процессом.

E (u (t ))º0. (5.2)

r (u (t )u (t ±t ))=m t . (5.3)

D u (t )=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov(u (t )u (t ±t))=m t D u (t ). (5.5)

Из (5.3) следует, что при |m | близком к единице дисперсия u (t ) будет намного больше дисперсии e t . Это значит (учитывая (5.2) m =r (u (t )u (t ±1))=r (1), т.е. параметр m может быть интерпретирован как значение автокорреляции первого порядка), что в случае сильной корреляции соседних значений ряда u (t ) ряд слабых возмущений e t будет порождать размашистые колебания остатков u (t ).

Условие стационарности ряда (5.1) определяется требованием |m |<1.

Автокорреляционная функция (АКФ) r (t ) марковского процесса определяется соотношением (5.3).

Частная автокорреляционная функция

r част (t )=r (u (t )u (t +t )) | u (t+ 1)=u (t+ 2)=…=u (t+t -1)=0

может быть вычислена по формуле: r част (2)=(r (2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). Для второго и выше порядков (см. , с. 413, 414) должно быть r част (t )=0 "t =2,3,… . Это удобно использовать для подбора модели (5.1): если вычисленные по оцененным невязкам u (t )=y t -выборочные частные корреляции статистически незначимо отличаются от нуля при t =2,3,…, то использование модели AR (1) для описания случайных остатков не противоречит исходным данным.

Идентификация модели. Требуется статистически оценить параметры m и s 2 модели (5.1) по имеющимся значениям исходного ряда y t .

Можно сформулировать цели статистического анализа временного ряда следующим образом:

по имеющейся траектории x(1), x(2), …x(N) анализируемого временного ряда x(t) требуется:

1) определить, какие из неслучайных функций (соответствующих трендовому, сезонному и циклическому компонентам) при­сутствуют в разложении , т. е. определить значения индика­торов  i в разложении

2) построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении;

3) подобрать модель, адекватно описывающую поведение «случай­ных остатков u(t), и статистически оценить параметры этой модели.

Успешное решение перечисленных задач является основой для достиже­ния конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда.

Автоковариационная и автокорреляционная функции

Для идентификации временных рядов удобно использовать специальные функции: автоковариационную и автокорреляционную.

Автоковариационная функция

Из предположения о строгой стационарности временного ряда x(t) ковариация между значениями x(t) и x(t  ) будет зависеть только от величины «сдвига по времени»  (и не будет зависеть от t). Эта ковариация называется автоковариацией (поскольку измеряет ковариацию для различных значений одного и того же временного ряда x(t) и определяется соотношением:

При анализе величины () в зависимости от значения  принято говорить об автоковариационной функции (). Значения автоковариационной функции могут быть статистически оценены по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле

, где =1,2, … N-1. Очевидно

(0)=  2 =М;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Автокорреляционная функция

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависмыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Так что степень статистической связи между двумя наблюдениями временного ряда, «разнесенными» (по времени) на  единиц, определится величиной коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции r() измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величиныr() в зависимости от значенияпринято говорить об автокорреляционной функцииr(). График автокорреляционной функции называют коррелограммой. Автокорреляционная функция, в отличие от автоковариационной, безразмерна. Ее значения могут колебаться в пределах от –1 до +1. Очевидно, чтоr() =r(-), а(0) =1.

Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остат­ков u(t) анализируемого временного ряда x(t), производят, как правило, в рамках некоторого специального класса случайных временных последовательностей - класса стационар­ных временных рядов. На интуитивном уровне стационарность временно­го ряд а мы связываем с требованием, чтобы он имел постоянное сред­нее значение и колебался вокруг этого среднего с постоянной дисперсией . В некоторых случаях временные последовательности этого класса могут воспроизводить и поведение самого анализируемого временного ряда x(t).

Ряд x(t) называется строго стационар­ным (или стационарным в узком смысле), если совместное распреде­ление вероятностей m наблюдений x(t 1), x(t 2), …, x(t m) такое же, как и для m наблюдений x(t 1 +), x(t 2 +), …x(t m +), при любых m, t 1 , t 2 , …, t m и .

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m= 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда x(t) следует, что закон распределения вероятностей случайной величины x(t) не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение М(x(t)) =  и дисперсия D(x(t))= М(x(t) –) 2 =  2 .

Очевидно, значение μ определяет постоянный уровень, относитель­но которого разбросаны значения анализируемого временного ряда x(t), а посто­янная величина  2 характеризует размах этого разброса. Поскольку закон распределения вероятностей случайной величины x(t) одинаков при всех t, то он сам и его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдени­ям x(1), x(2), …x(N). В частности:

-оценка среднего значения,

- оценка дисперсии.

Под методами сглаживания временного ряда понимается выделение неслучайной составляющей . Предположим, что известен общий вид неслучайной составляющей F(t) для ряда x(t)=F(t,)+ u(t). Это может быть полином, ряд Фурье и т.д. Тогда возникает задача оценки параметров . В такой постановке задачи используются аналитические методы.

Если вид неслучайной составляющей неизвестен F(t), то используются алгоритмические методы. К таким методам относится метод скользящего среднего, лежащий в основе более сложных процедур сглаживания.

ВВЕДЕНИЕ

Существующие модели временных рядов широко используются в процессе изучения динамики реальных явлений различной природы. Они зачастую применяются в исследованиях динамики грузо - и пассажиропотоков, товарных и складских запасов, миграционных процессов, анализе химических процессов, моделировании разнообразных природных событий. Наиболее активно модели временных рядов применяются в анализе финансовых рынков, при оценке изменений финансовых показателей, прогнозировании цен на различные товары, курсов акций, соотношений курсов валют и т. п.

Широкий круг реальных общественных и естественных процессов обычно может быть представлен набором последовательных значений оцениваемого показателя у 1 , у 2 ,..., у t ,..., у Т, которые фиксируются в определенные моменты времени t=1,2,... Т, так что интервал (t, t+1) является постоянным. Указанный набор значений у t , t=1,2,... обычно называется временным рядом (временной серией). Такой ряд представляет собой дискретный временной процесс.

Изменения значений у t во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием каких-либо причин, факторов. Однако их многообразие, сложность измерения, неопределенность в предположениях о существовании взаимосвязей с переменной у значительно затрудняет обоснование и построение «подходящей» для описания процесса у t , t=1,2,... многофакторной эконометрической модели классического типа. Поэтому часто выдвигается предположение о том, что совокупное влияние этих факторов формирует внутренние закономерности в отношении процесса у t .

Такое предположение направлено на применение для описания реальных временных процессов эконометрических моделей из специфического класса моделей временных рядов.

МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Особенности стационарных временных рядов и тесты на стационарность

Все модели временных рядов имеют общее свойство, которое основано на предположении значительной зависимости текущего значения уровня показателя y t от его предыстории. Иными словами уровень показателя y t генерируется значениями y t-1 , y t-2 ,... на базе характерных для данного временного ряда закономерностях.

Указанное допущение выражается общим уравнением:

y t = f(y t-1 , y t-2 , …) + t (1.1)

где t - ошибка модели в момент t.

Здесь функция f отражает характер взаимосвязей, существующих в рассматриваемом временном ряду у t , t=1,2,... Удачный подбор функции f обусловливает высокую степень приближения правой «детерминированной» части выражения (1.1) к реальным значениям ряда. Степень этого приближения обычно характеризуется оценками и свойствами ошибки ряда t , t=1,2,... в данном случае имеется в виду, прежде всего минимальная дисперсия, соответствие белому шуму и т. п.

Для широкого круга процессов функция f имеет линейный вид. Например,

y t = а 1 y t-1 + а n y t-n + t .

Линейные модели временных рядов применяются, как правило, для описания стационарных процессов, при этом имеются в виду стационарные процессы второго порядка. У стационарного процесса n-го порядка значения всех своих моментов порядка n и ниже на всех временных отрезках, входящих в интервал t=1,2,..., Т отличаются постоянством. Строго стационарные процессы отличаются тем, что у них моменты всех порядков постоянны. Из сказанного следует, что для любых двух интервалов времени (Т 1 , Т 2) и (Т 3 , Т 4) для стационарного процесса второго порядка у t должны выполняться условия:

равенство математических ожиданий;

Равенство дисперсий;

Равенство однопорядковых коэффициентов автокорреляций.

Математически данные условия выражаются соотношениями:

где - оценки математических ожиданий;

D 1 (y), D 2 (y) - оценки дисперсий;

Оценки коэффициентов автокорреляции i-го порядка процесса у t на 1-ом и на 2-ом интервалах соответственно;

Среднее значение процесса (оценка математического ожидания) на интервале (1,Т);

D(y) - оценка дисперсии процесса на интервале (1,Т).

При реальном изучении стационарных временных рядов равенства (1.2)-(1.4) рассматриваются в статистическом смысле. Это дает основания утверждать, что даже при неполном соответствии равенство гипотеза о постоянстве математического ожидания процесса у t может быть принята в случае удовлетворения значений и определенному статистическому критерию.

С целью проверки соответствия временного ряда у t , t=1,2,... стационарному процессу и выполнимости условий (1.2)-(1.4) применяются различные тесты. Если результаты одного из них не дают возможности утверждать об истинности или ложности выдвинутой гипотезы, то может возникнуть необходимость использовать несколько тестов для проверки одного и того же условия.

Всю совокупность тестов на стационарность временных рядов можно разделить на три основные группы: непараметрические, полупараметрические и параметрические тесты.

Непараметрические тесты не выдвигают заранее каких-либо сведений о законе распределения тестируемого временного ряда, его параметрах. Они основаны на изучении взаимосвязей между порядками следования образующих его значений, позволяют выявить наличие или отсутствие закономерностей в продолжительности и (или) чередовании их серий, образованных, например, последовательностями единиц совокупности с одинаковыми знаками, сменой знаков у этих единиц и т.п.

В полупараметрических тестах используются относительно слабые предположения о характере распределения значений временного ряда. Они отражают общие свойства функции распределения приростов значений ряда - симметричности, расположения квантилей.

При использовании методов этой группы оценки параметров распределения оцениваются по порядковым статистикам: среднее по медиане, среднеквадратическое отклонение - по размаху уровней ряда и т. п.

Параметрические тесты используют при относительно строгих предположениях о законе распределения временного ряда и его параметров. Данные тесты позволяют оценить степень приближенности эмпирических (наблюдаемых) характеристик распределения временного ряда к рассчитанным теоретическим уровням.

Именно эта степень приближенности позволяет принять или отвергнуть гипотезу о соответствии свойств рассматриваемого ряда стационарному процессу.

Введение……………………………………………………….2

1. Основные задачи анализа временных рядов…………….4

2. Анализ временных рядов………………………………….9

2.2 Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания…………………………………………………11

2.3 Модели стационарных временных рядов и их индефикация…13

2.3.2. Модели скользящего среднего порядка q (MA (q) –модели)….17

Заключение………………………………………………………21

Литература………………………………………………………..23

Введение

В последние годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические процессы и развернутых во времени в форме временных рядов. При этом нередко одни и те же временные ряды используются для решения разных содержательных проблем.

Далеко не всегда значения временного ряда формируются только под воздействием каких-либо факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными флуктуациями. Особый интерес представляют процессы, находящиеся в «переходном» режиме, т.е. процессы, являющиеся по существу «стационарными», но на исследуемом промежутке времени проявляющие свойства нестационарного временного ряда, что объясняется далекими от стационарного режима начальными условиями. В ситуациях, когда временной ряд формируется под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных факторов, анализ отдельных временных рядов, как результирующих, так и факторных, имеет огромное значение. Это необходимо для правильной идентификации моделей, которые строятся по информации об исследуемых процессах (векторные авторегрессии, модели коррекции ошибок, динамические модели с распределенными запаздываниями и т.п.).

При анализе временных рядов основное внимание уделяется исследованию, описанию и/или моделированию их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире просто моделирования исследования соответствующих процессов. Построенная модель обычно используется для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

В связи с наличием ошибок измерения экономических показателей, наличием случайных флуктуаций, свойственных наблюдаемым системам, при исследовании временных рядов широко применяется вероятностно-статистический подход. В рамках такого подхода наблюдаемый временной ряд понимается как реализация некоторого случайного процесса. При этом неявно предполагается, что временной ряд имеет какую-то структуру, отличающую его от последовательности независимых случайных величин, так что наблюдения не являются набором совершенно независимых числовых значений. (Некоторые элементы структуры ряда иногда можно выявить уже на основании простого визуального анализа графика ряда. Это относится, например, к таким компонентам ряда, как тренд и циклы.) Обычно предполагается, что структуру ряда можно описать моделью, содержащей небольшое число параметров по сравнению с количеством наблюдений, это практически важно при использовании модели для прогнозирования. Примерами таких моделей служат модели авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации - модели AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

При построении моделей связей в долгосрочной перспективе необходимо учитывать факт наличия или отсутствия у анализируемых макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе говоря, приходится решать вопрос об отнесении каждого из рассматриваемых рядов к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) - TS (trend stationary) ряды, или к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным трендом) и приводящихся к стационарному (или стационарному относительно детерминированного тренда) ряду только путем однократного или k-кратного дифференцирования ряда - DS (difference stationary) ряды. Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в случае TS ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, тогда как в случае DS ряда вычитание детерминированной составляющей ряда оставляет ряд нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда.

Глава 1. Основные задачи анализа временных рядов.

Принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем:

во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда не являются независимыми;

во-вторых, члены временного ряда не обязательно являются одинаково распределенными, так что P{xt < x} P{xt < x} при t t.

Это означает, что свойства и правила статистического анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по наблюденным значениям.

Генезис наблюдений, образующих временной ряд (механизм порождения данных). Речь идет о структуре и классификации основных факторов, под воздействием которых формируются значения временного ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов.

Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака xt. Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции fтр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто - трендом.

Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Поскольку эта функция (е) должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической или демографической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п.) Результат действия циклических факторов будем обозначать с помощью неслучайной функции (t).

Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов xt, а, следовательно, и необходимость интерпретации x1,…, xT как наблюдений, произведенных над случайными величинами 1,…, Т. Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок ») t.

Конечно, вовсе не обязательно, чтобы в процессе формирования значений всякого временного ряда участвовали одновременно факторы всех четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных факторов. Таким образом, в общем виде модель формирования данных (при аддитивной структурной схеме влияния факторов) выглядит как:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (1)

где i = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ряда и i = 0 - в противном случае.

Основные задачи анализа временных рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:

определить, какие из неслучайных функций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов i;

построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1);

подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков t, и статистически оценить параметры этой модели.

Успешное решение перечисленных задач, обусловленных базовой целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического анализа временных рядов.

· Большинство математико-статистических методов имеет дело с моделями, в которых наблюдения предполагаются независимыми и одинаково распределенными. При этом зависимость между наблюдениями чаще всего рассматривается как помеха в эффективном применении этих методов. Однако разнообразные данные в экономике, социологии, финансах, коммерции и других сферах человеческой деятельности поступают в форме временных рядов, в которых наблюдения взаимно зависимы, и характер этой зависимости как раз и представляет главный интерес для исследователя. Совокупность методов и моделей исследования таких рядов зависимых наблюдений называется анализом временных рядов. Главная цель эконометрического анализа временных рядов состоит в построении по возможности простых и экономично параметризованных моделей, адекватно описывающих имеющиеся ряды наблюдений и составляющих базу для решения, в первую очередь, следующих задач:

(a) вскрытие механизма генезиса наблюдений, составляющих анализируемый

(b) временной ряд;

(c) построение оптимального прогноза для будущих значений временного ряда;

выработка стратегии управления и оптимизации анализируемых процессов.

· Говоря о генезисе образующих временной ряд наблюдений, следует иметь в виду (и по возможности модельно описать) четыре типа факторов, под воздействием которых могут формироваться эти наблюдения: долговременные, сезонные, циклические (или конъюнктурные) и случайные. При этом не обязательно в процессе формирования значений конкретного временного ряда должны одновременно участвовать факторы всех четырех типов. Успешное решение задач выявления и моделирования действия этих факторов является основой, базисным отправным пунктом для достижения конечных прикладных целей исследования, главные из которых упомянуты в предыдущем пункте.

· Приступая к анализу дискретного ряда наблюдений, расположенных в хронологическом порядке, следует в первую очередь убедиться, действительно ли в формировании значений этого ряда участвовали какие-либо факторы, помимо чисто случайных. При этом под «чисто случайными» понимаются лишь те случайные факторы, под воздействием которых генерируются последовательности взаимно не коррелированных и одинаково распределенных случайных величин, обладающих постоянными (не зависящими от времени) средними значениями и дисперсиями.

Если в результате проверки такой статистической гипотезы выяснилось, что имеющиеся наблюдения взаимно зависимы (и, возможно, неодинаково распределены), то приступают к подбору подходящей модели для этого ряда. Множество моделей, в рамках которого ведется этот подбор, ограничивается обычно следующими классами моделей: (а) классом стационарных временных рядов (которые используются, в основном, для описания поведения «случайных остатков»), (б) классом нестационарных временных рядов, которые являются суммой детерминированного тренда и стационарного временного ряда, (в) классом нестационарных временных рядов, имеющих стохастический тренд, который можно удалить последовательным дифференцированием ряда (т.е. путем перехода от ряда уровней к ряду разностей первого или более высокого порядка).

В рамках эконометрического анализа временных рядов макроэкономических показателей российской экономики, проводимого в настоящей работе, мы объединяем ряды, входящие в классы (а) и (б), в один класс, который, следуя общепринятой в последнее время практике[см., например, Maddala, Kim (1998), называем классом TS-рядов (trend stationary series - ряды, стационарные относительно детерминированного тренда). Адекватным методом остационаривания временных рядов, принадлежащих классу (б), является вычитание из ряда детерминированного тренда. Напротив, для рядов, принадлежащих классу (в), адекватным методом остационаривания ряда является переход от ряда уровней к ряду разностей (первого или более высокого порядка).

· Стационарные (в широком смысле) временные ряды xt характеризуются тем, что их средние значения Ext, дисперсии Dxt и ковариации () = E не зависят от t, для которого они вычисляются. Взаимозависимости, существующие между членами стационарного временного ряда, как правило, могут быть адекватно описаны в рамках моделей авторегрессии порядка p (AR(p)-моделей), моделей скользящего среднего порядка q (MA(q)-моделей) или моделей авторегрессии со скользящими средними в остатках порядка p и q (ARMA(p, q)-моделей) .

· Временной ряд xt называется интегрированным (проинтегрированным) порядка k, если последовательные разности kxt этого ряда порядка k (но не меньшего порядка!) образуют стационарный временной ряд. Поведение таких рядов, в том числе рядов, содержащих сезонную компоненту, в эконометрических прикладных задачах достаточно успешно описывают с помощью моделей авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего порядка p, k и q (ARIMA(p, k, q)-моделей) и некоторых их модификаций. К этому классу относится и простейшая модель стохастического тренда - процесс случайного блуждания (ARIMA(0, 1, 0)). Приращения случайного блуждания образуют последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин (“белый шум”). Поэтому процесс случайного блуждания называют также “проинтегрированным белым шумом”.

В настоящее время в класс интегрированных рядов порядка k включают также ряды, у которых разность порядка k (но не меньшего!) является процессом, стационарным относительно детерминированного тренда. В нашей работе используется именно такое определение. При этом если сам временной ряд является стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда (TS-рядом), то он определяется как интегрированный ряд нулевого порядка.

При наличии сезонности получить стационарный ряд иногда возможно, переходя к разностям не соседних значений ряда, а значений, отстоящих на соответствующее число единиц времени. Например, при квартальных данных для достижения стационарности бывает достаточно перейти к последовательности разностей значений ряда, отстоящих на 4 единицы времени.

Подобрать модель для конкретного временного ряда {xt}, t = 1, 2,…, T это значит определить подходящее параметрическое семейство моделей в качестве допустимого множества решений, а затем статистически оценить параметры модели на основании имеющихся наблюдений x1, x2,…, xT. Весь этот процесс принято называть процессом идентификации модели, или просто идентификацией. Для правильной идентификации модели временного ряда необходимо решить вопрос о том, является ли исследуемый временной ряд стационарным, стационарным относительно детерминированного тренда (т.е. суммой детерминированных компонент и стационарного ряда) или в его составе содержится стохастический тренд. Решению этой задачи для ряда российских макроэкономических рядов посвящена основная часть настоящей работы.

В ситуациях, когда временные ряды {xt} и {yt}, t = 1, 2,…, T, являются исходными данными для построения регрессии y на x, причем воздействие единовременного изменения одной из них (x) на другую (y) растянуто (распределено) во времени, большой прикладной интерес представляют так называемые модели с распределенными лагами. В рамках этого специального класса моделей проводится, в частности, эконометрический анализ таких важных экономических явлений, как «процесс частичного приспособления», «модели адаптивных ожиданий» и др.

Важную роль в системах поддержки принятия экономических решений играет прогнозирование экономических показателей. Методы автопрогноза, основанные на анализе временных рядов, экстраполируют имеющийся в наличии ряд только на основании информации, содержащейся в нем самом. Такого рода прогноз может оказаться эффективным лишь в кратко- и, максимум, в среднесрочной перспективе. Серьезное решение задач долгосрочного прогнозирования требует использования комплексных подходов, и в первую очередь привлечения различных (в том числе, статистических) технологий сбора и анализа экспертных оценок.

Эффективный подход к решению задач кратко- и среднесрочного автопрогноза это прогнозирование, основанное на использовании «подогнанных» (идентифицированных) моделей типа ARIMA(p, k, q), включая, в качестве частных случаев, и модели AR-, MA- и ARMA.

Весьма широко распространены в решении прикладных задач кратко- и среднесрочного автопрогноза и так называемые адаптивные методы, позволяющие по мере поступления новых данных обновлять ранее сделанные прогнозы с минимальной задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур.

Глава 2. Анализ временных рядов

2.1. Стационарные временные ряды и их основные характеристики

Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остатков t анализируемого временного ряда xt, производят, как правило, в рамках класса стационарных временных рядов.

Определение 2.1. Ряд xt называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m наблюдений такое же, как и для m наблюдений, при любых, и t1,…, tm.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины xt не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение Ext = и дисперсия Dxt = 2.

Очевидно, значение определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд xt, а постоянная величина характеризует размах этих колебаний. Поскольку закон распределения вероятностей случайной величины xt одинаков при всех t, то он сам и его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдениям x1,…, xT. В частности:

оценка среднего значения, оценка дисперсии.

Автоковариационная функция (). Значения автоковариационной функции статистически оцениваются по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле

где = 1,… T 1, а вычислено по формуле (2.1).

Очевидно, значение автоковариационной функции при = 0 есть не что иное, как дисперсия временного ряда.

Автокорреляционная функция r(). Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Поскольку в нашем случае коэффициент измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r() в зависимости от значения принято говорить об автокорреляционной функции r(). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от 1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, что r() = r(), так что при анализе поведения автокорреляционных функций ограничиваются рассмотрением только положительных значений.

Существуют общие характерные особенности, отличающие поведение автокорреляционной функции стационарного временного ряда. Другими словами, можно описать в общих чертах схематичный вид коррелограммы стационарного временного ряда. Это обусловлено следующим общим соображением: очевидно, чем больше разнесены во времени члены временного ряда xt и xt+, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(). При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение r0, начиная с которого все значения будут тождественно равны нулю.

Частная автокорреляционная функция rчаст(). С помощью этой функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными тактами времени членами временного ряда xt и xt+, при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных членов этого временного ряда. Частная автокорреляция 1-го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения:

где среднее значение анализируемого стационарного процесса.

Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчитаны аналогичным образом по элементам общей корреляционной матрицы R = ||rij||, в которой rij = = r(xi, xj) = r(|i j|), где i, j = 1,…, T и r(0) = 1. Так, например, частная автокорреляция 2-го порядка определяется по формуле:

Эмпирические (выборочные) версии автокорреляционных функций получаются с помощью тех же соотношений (2.4), (2.5) при замене участвующих в них теоретических значений автокорреляций r() их статистическими оценками.

Полученные таким образом частные автокорреляции rчаст(1),rчаст (2),… можно нанести на график, в котором роль абсциссы выполняет величина сдвига. Знание автокорреляционных функций r() и rчаст() оказывает существенную помощь в решении задачи подбора и идентификации модели анализируемого временного ряда.

Использование свойств этой функции в прикладном анализе временных рядов определяется как «спектральный анализ временных рядов». Достаточно полное описание этого подхода приведено, например, в [Дженкинс, Ватс (1971, 1972)] и [Ллойд, Ледерман (1990)]. Применительно к статистическому анализу экономических рядов динамики этот подход не получил широкого распространения, т.к. эмпирический анализ спектральной плотности требует в качестве своей информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекторий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки в практике статистического анализа экономических рядов динамики).

Для содержательного анализа важно, что величина спектральной плотности характеризует силу взаимосвязи, существующей между временным рядом xt и гармоникой с периодом 2/. Это позволяет использовать спектр как средство улавливания периодичностей в анализируемом временном ряду: совокупность пиков спектра определяет набор гармонических компонентов в разложении. Если в ряде содержится скрытая гармоника частоты, то в нем присутствуют также периодические члены с частотами /2, /3 и т.д. Это так называемое «эхо», повторяемое спектром на низких частотах. Эффект «эха» анализировался в статье на примере ряда ежемесячных безналичных расчетов между банками США за 1875-1958 гг.

Можно несколько расширить класс моделей стационарных временных рядов, используемых при анализе конкретных рядов экономической динамики.

Определение 2.2. Ряд называется слабо стационарным (или стационарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия и ковариации не зависят от t.

2.2. Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания.

Существенную роль в решении задач выявления и оценивания трендовой, сезонной и циклической составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап анализа, на котором:

выявляется сам факт наличия/отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей в разложении (1.1.1); по существу, речь идет о статистической проверке гипотезы

H0: Ext = = const (2.6)

(включая утверждение о взаимной статистической независимости членов исследуемого временного ряда) при различных вариантах конкретизации альтернативных гипотез типа

строится оценка (аппроксимация) для неизвестной интегральной неслучайной составляющей f(t) = 1fтр(t) + 2(t) +3(t), т.е. решается задача сглаживания (элиминирования случайных остатков t) анализируемого временного ряда xt.

Методы выделения неслучайной составляющей в траектории, отражающей поведение временного ряда, подразделяются на два типа.

Методы первого типа (аналитические) основаны на допущении, что известен общий вид неслучайной составляющей в разложении

f(t) = 1fтр(t) + 2(t) +3(t). (2.8)

Например, если известно, что неслучайная составляющая временного ряда описывается линейной функцией времени f(t) = 0 + 1t, где 0 и 1 некоторые неизвестные параметры модели, то задача ее выделения (задача элиминирования случайных остатков или задача сглаживания временного ряда) сводится к задаче построения хороших оценок и для параметров модели.

Методы второго типа (алгоритмические) не связаны ограничительным допущением о том, что общий аналитический вид искомой функции (2.8) известен исследователю. В этом смысле они являются более гибкими, более привлекательными. Однако «на выходе» задачи они предлагают исследователю лишь алгоритм расчета оценки для искомой функции f(t) в любой наперед заданной точке t и не претендуют на аналитическое представление функции.

Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда. Эти методы реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная xt, а в роли единственной объясняющей переменной время t. Таким образом, рассматривается модель регрессии вида

xt = f(t,) + t, t = 1,…, T, в которой общий вид функции f(t,) известен, но неизвестны значения параметров = (0, 1,…, m). Оценки параметров строятся по наблюдениям. Выбор метода оценивания зависит от гипотетического вида функции f(t,) и стохастической природы случайных регрессионных остатков t.

Алгоритмические методы выделения неслучайной составляющей временного ряда (методы скользящего среднего). В основе этих методов элиминирования случайных флуктуаций в поведении анализируемого временного ряда лежит простая идея: если «индивидуальный» разброс значений члена временного ряда xt около своего среднего (сглаженного) значения a характеризуется дисперсией 2, то разброс среднего из N членов временного ряда (x1 + x2 +…+ xT) / N около того же значения a будет характеризоваться гораздо меньшей величиной дисперсии, а именно дисперсией, равной 2 / N. А уменьшение меры случайного разброса (дисперсии) и означает как раз сглаживание соответствующей траектории. Поэтому выбирают некоторую нечетную «длину усреднения» N = 2m + 1, измеренную в числе подряд идущих членов анализируемого временного ряда. А затем сглаженное значение временного ряда xt вычисляют по значениям xtm, xtm+1,…, xt, xt+1,…, xt+m

где wk (k = m, m + 1,…, m) некоторые положительные «весовые» коэффициенты, в сумме равные единице, т.е. wk > 0 и. Поскольку, изменяя t от m + 1 до T m, мы как бы «скользим» по оси времени, то и методы, основанные на формуле (2.9), принято называть методами скользящей средней (МСС).

Очевидно, один МСС отличается от другого выбором параметров m и wk.

Определение параметров wk основано на следующей процедуре. В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая гладкая функция f(x) при самых общих допущениях может быть локально представлена алгебраическим полиномом подходящей степени p. Поэтому берем первые 2m + 1 членов временного ряда x1,…, x2m+1, строим с помощью МНК полином степени p, аппроксимирующий поведение этой начальной части траектории временного ряда, и используем этот полином для определения оценки сглаженного значения f(t) временного ряда в средней (т.е. (m + 1)-й) точке этого отрезка ряда, т.е. полагаем. Затем «скользим» по оси времени на один такт и таким же способом подбираем полином той же степени p к отрезку временного ряда x2,…, xm+2 и определяем оценку сглаженного значения временного ряда в средней точке сдвинутого на единицу отрезка временного ряда, т.е., и т.д.

В результате мы найдем оценки для сглаженных значений анализируемого временного ряда при всех t, кроме t = 1,…, m и t = T,… T m + 1.

Подбор наилучшего (в смысле критерия МНК) аппроксимирующего полинома к траектории анализируемого временного ряда приводит к формуле вида, причем результат не зависит от того, для какого именно из «скользящих» временных интервалов был осуществлен этот подбор.

Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна ). В соответствии с этим методом оценка сглаженного значения в точке t определяется как решение оптимизационной задачи вида

где 0 < < 1. Следовательно, веса k в критерии Q(f) обобщенного («взвешенного») МНК уменьшаются экспоненциально по мере удаления наблюдений xtk в прошлое. Решение оптимизационной задачи (2.10) дает:

В отличие от обычного МСС здесь скользит только правый конец интервала усреднения и, кроме того, веса экспоненциально уменьшаются по мере удаления в прошлое. Формула (2.11) дает оценку сглаженного значения временного ряда не в средней, а в правой конечной точке интервала усреднения.

2.3. Модели стационарных временных рядов и их идентификация.

В 2.2 рассматривался класс стационарных временных рядов, в рамках которого подбирается модель, пригодная для описания поведения случайных остатков исследуемого временного ряда (1). Здесь рассматривается набор линейных параметрических моделей из этого класса и методы их идентификации. Таким образом, речь здесь идет не о моделировании временных рядов, а о моделировании их случайных остатков t, получающихся после элиминирования из исходного временного ряда xt его неслучайной составляющей (2.8). Следовательно, в отличие от прогноза, основанного на регрессионной модели, игнорирующего значения случайных остатков, в прогнозе временных рядов существенно используется взаимозависимость и прогноз самих случайных остатков.

Введем обозначения. Так как здесь описывается поведение случайных остатков, то моделируемый временной ряд обозначим t, и будем полагать, что при всех t его математическое ожидание равно нулю, т.е. Et, 0. Временные последовательности, образующие «белый шум», обозначим t.

Описание и анализ, рассматриваемых ниже моделей, формулируется в терминах общего линейного процесса, представимого в виде взвешенной суммы настоящего и прошлых значений белого шума, а именно:

Таким образом, белый шум представляет собой серию импульсов, в широком классе реальных ситуаций генерирующих случайные остатки исследуемого временного ряда.

Временной ряд t можно представить в эквивалентном виде, при котором он получается в виде классической линейной модели множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают его собственные значения во все прошлые моменты времени:

При этом весовые коэффициенты 1, 2,… связаны определенными условиями, обеспечивающими стационарность ряда t. Переход от (2.14) к (2.13) осуществляется с помощью последовательной подстановки в правую часть (2.14) вместо t1, t2,… их выражений, вычисленных в соответствии с (2.14) для моментов времени t 1, t 2 и т.д.

Рассмотрим также процесс смешанного типа, в котором присутствуют как авторегрессионные члены самого процесса, так и скользящее суммирование элементов белого шума:

Будем подразумевать, что p и q могут принимать и бесконечные значения, а также то, что в частных случаях некоторые (или даже все) коэффициенты или равны нулю.

Рассмотрим сначала простейшие частные случаи.

Модель авторегрессии 1-го порядка AR(1) (марковский процесс). Эта модель представляет собой простейший вариант авторегрессионного процесса типа (2.14), когда все коэффициенты кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

t = t1 + t, (2.15)

где некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу (|| < 1), а t последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом t зависит от t и всех предшествующих, но не зависит от будущих значений. Соответственно, в уравнении (2.15) t не зависит от t1 и более ранних значений. В связи с этим, t называют инновацией (обновлением).

Последовательности, удовлетворяющие соотношению (2.15), часто называют также марковскими процессами. Это означает, что

r(t, tk) = k, (2.17)

cov(t, tk) = kDt. (2.19)

Одно важное следствие (2.19) состоит в том, что если величина || близка к единице, то дисперсия t будет намного больше дисперсии. А это значит, что если соседние значения ряда t сильно коррелированы, то ряд довольно слабых возмущений t будет порождать размашистые колебания остатков t.

Условие стационарности ряда (2.15) определяется требованием к коэффициенту: || < 1, или, что то же, корень z0 уравнения 1 z = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы.

Автокорреляционная функция марковского процесса определяется соотношением (2.17):

r() = r(t, t) =. (2.20)

Отсюда же, в частности, следует простая вероятностная интерпретация параметра: = r(t, t1), т.е. значение определяет величину корреляции между двумя соседними членами ряда t.

Из (2.20) видно, что степень тесноты корреляционной связи между членами последовательности (2.15) экспоненциально убывает по мере их взаимного удаления друг от друга во времени.

Частная автокорреляционная функция rчаст() = r(t, t+ | t+1 = t+2 =…= t+1 = 0) может быть подсчитана с помощью формул (2.4)-(2.5). Непосредственное вычисление по этим формулам дает следующий простой результат: значения частной корреляционной функции rчаст() равны нулю для всех = 2, 3,…. Это свойство может быть использовано при подборе модели: если вычисленные выборочные частные корреляции статистически незначимо отличаются от нуля при = 2, 3,…, то использование модели авторегрессии 1-го порядка для описания поведения случайных остатков временного ряда не противоречит исходным статистическим данным.

Спектральная плотность марковского процесса (2.15) может быть подсчитана с учетом известного вида автокорреляционной функции (2.20):

В случае значения параметра близкого к 1, соседние значения ряда t близки друг к другу по величине, автокорреляционная функция экспоненциально убывает оставаясь положительной, а в спектре преобладают низкие частоты, что означает достаточно большое среднее расстояние между пиками ряда t. При значении параметра близком к -1, ряд быстро осциллирует (в спектре преобладают высокие частоты), а график автокорреляционной функции экспоненциально спадает до нуля с попеременным изменением знака.

Идентификация модели, т.е. статистическое оценивание ее параметров и по имеющейся реализации временного ряда xt (а не его остатков, которые являются ненаблюдаемыми), основана на соотношениях (2.16)(2.19) и может быть осуществлена с помощью метода моментов. Для этого следует предварительно решить задачу выделения неслучайной составляющей, что позволит оперировать в дальнейшем остатками.

Затем подсчитывается выборочная дисперсия остатков по формуле

где, а «невязки» (остатки) вычислены по формуле.

Оценку параметра получаем с помощью формулы (2.18), подставляя в нее вместо коэффициента корреляции его выборочное значение, т.е. .

Наконец, оценка параметра основана на соотношении (2.19), в котором величины Dt и заменяются оценками, соответственно, и:

Модели авторегрессии 2-го порядка - AR(2) (процессы Юла). Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авторегрессионного процесса, когда все коэффициенты j в правой части (2.14) кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

t = 1t1 + 2t2 + t, (2.22)

где последовательность 1, 2,… образует белый шум.

Условия стационарности ряда (2.22) (необходимые и достаточные) определяются как:

В рамках общей теории моделей те же самые условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение для модели авторегрессии 2-го порядка имеет вид:

Автокорреляционная функция процесса Юла подсчитывается следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены соотношениями

а значения для r(), = 3, 4,… вычисляются с помощью рекуррентного соотношения

r() = 1r(1) + 2r(2).

Частная автокорреляционная функция временного ряда, сгенерированного моделью авторегрессии 2-го порядка, обладает следующим отличительным свойством:rчаст() = 0 при всех = 3, 4,…

Спектральная плотность процесса Юла может быть вычислена с помощью формулы:

По значениям вычисляются оценки и, соответственно, дисперсии Dt и автокорреляций r(1) и r(2). Это делается с помощью соотношений (2.2) и (2.3):

Модели авторегрессии p-го порядка - AR(p) (p 3). Эти модели, образуя подмножество в классе общих линейных моделей, сами составляют достаточно широкий класс моделей. Если в общей линейной модели (2.14) полагать все параметры j, кроме первых p коэффициентов, равными нулю, то мы приходим к определению AR(p)-модели:

где последовательность случайных величин 1, 2,… образует белый шум.

Условия стационарности процесса, генерируемого моделью (2.23), также формулируются в терминах корней его характеристического уравнения

1 1z 2z2 … pzp = 0.

Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга, т.е. превосходили бы по модулю единицу.

Автокорреляционная функция процесса (2.23) может быть вычислена с помощью рекуррентного соотношения по первым p ее значениям r(1),…, r(p). Это соотношение имеет вид:

r () = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p), = p + 1, p + 2,… (2.24)

Частная автокорреляционная функция процесса (2.23) будет иметь ненулевые значения лишь при p; все значения rчаст(p) при > p будут нулевыми см., например, [Бокс, Дженкинс (1974)]… Это свойство частной автокорреляционной функции AR(p)-процесса используется, в частности, при подборе порядка в модели авторегрессии для конкретных анализируемых временных рядов. Если, например, все частные коэффициенты автокорреляции, начиная с порядка k, статистически незначимо отличаются от нуля, то порядок модели авторегрессии естественно определить равным p = k 1.

Идентификация модели авторегрессии p-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели и автокорреляции исследуемого временного ряда. Для вывода этих соотношений последовательно подставляются в (2.24) значения = 1, 2,…, p. Получается система линейных уравнений относительно 1, 2,…, p:

называемая уравнениями Юла-УокераYule (1927), Walker (1931)… Оценки для параметров k получим, заменив теоретические значения автокорреляций r(k) их оценками и решив полученную таким образом систему уравнений.

Оценка параметра получается из соотношения заменой всех участвующих в правой части величин их оценками.

2.3.2. Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели).

Рассмотрим частный случай общего линейного процесса (2.13), когда только первые q из весовых коэффициентов j ненулевые. В это случае процесс имеет вид

t = t 1t1 2t2 … qtq, (2.26)

где символы 1,…, q используются для обозначения конечного набора параметров, участвующих в (2.13). Процесс (2.26) называется моделью скользящего среднего порядка q (МА(q)).

Двойственность в представлении AR- и МА-моделей и понятие обратимости МА-модели. Из (2.13) и (2.14) видно, что один и тот же общий линейный процесс может быть представлен либо в виде AR-модели бесконечного порядка, либо в виде МА-модели бесконечного порядка.

Соотношение (2.26) может быть переписано в виде

t =t + 1t1 + 2t2 +…+ qtq.

t = t 1t1 2t2 …, (2.27)

где коэффициенты j (j = 1, 2,…) определенным образом выражаются через параметры 1,…, q. Соотношение (2.27) может быть записано в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (т.е. в виде обращенного разложения)

Известно (см., например, [Бокс, Дженкинс, (1974)]), что условие обратимости МА(q)-модели (т.е. условие сходимости ряда) формулируется в терминах характеристического уравнения модели (2.26) следующим образом:

Все корни характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга, т.е. |zj| > 1 для всех j = 1, 2,…, q.

Основные характеристики процесса МА(q). Таким образом, автокорреляционная функция r() процесса МА(q) равна нулю для всех значений, больших порядка процесса q. Это важное свойство используется при подборе порядка МА(q)-модели по экспериментальным данным;

Спектральная плотность процесса МА(q) может быть вычислена с помощью соотношения:

Идентификация модели МА(q) производится на базе соотношений (2.29), а именно: 1) по значениям с помощью формулы подсчитываются значения; 2) в соотношения последовательно подставляются значения = 1,…, q с заменой в левой их части величин r() полученными ранее оценками; 3) полученная таким образом система из q уравнений разрешается относительно неизвестных значений 1,…, q; решения этой системы и дадут оценки неизвестных параметров модели; 4) оценка параметра может быть получена с помощью первого из соотношений (2.28) подстановкой в него вместо (0), 1,…, q их оценок.

Заметим, что в отличие от системы уравнений ЮлаУокера (2.25), уравнения для определения оценок параметров МА(q)-модели нелинейны. Поэтому эти уравнения приходится решать с помощью итерационных процедур см., например, Бокс, Дженкинс (1974).

Взаимосвязь процессов AR(q) и МА(q). Сделаем ряд замечаний о взаимосвязях между процессами авторегрессии и скользящего среднего.

Для конечного процесса авторегрессии порядка p t может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих, или t может быть представлено как бесконечная сумма предшествующих. В то же время, в конечном процессе скользящего среднего порядка q t может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих или t как бесконечная взвешенная сумма предшествующих.

Конечный процесс МА имеет автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но так как он эквивалентен бесконечному процессу AR, его частная автокорреляционная функция бесконечно протяженная. Главную роль в ней играют затухающие экспоненты и (или) затухающие синусоиды. И наоборот, процесс AR имеет частную автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но его автокорреляционная функция имеет бесконечную протяженность и состоит из совокупности затухающих экспонент и или затухающих синусоид.

Параметры процесса авторегрессии конечного порядка не должны удовлетворять каким-нибудь условиям для того, чтобы процесс был стационарным. Однако для того чтобы процесс МА был обратимым, корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга.

Спектр процесса скользящего среднего является обратным к спектру соответствующего процесса авторегрессии.

Представление процесса типа МА в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения его параметризации. Аналогично процесс AR не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому для получения экономичной параметризации иногда бывает целесообразно включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такие линейные процессы имеют вид

t = 1t1 +…+ ptp + t 1t1 … qtq (2.30)

Стационарность и обратимость ARMA(p, q)-процессов. Записывая процесс (2.30) в виде (2.31) где, можно провести анализ стационарности (2.31) по той же схеме, что и для AR(p)-процессов. При этом различие “остатков” и е никак не повлияет на выводы, определяющие условия стационарности процесса авторегрессии. Поэтому процесс (2.30) является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения AR(p)-процесса лежат вне единичного круга.

Аналогично, обозначив и рассматривая процесс (2.30) в виде, получаем те же выводы относительно условий обратимости этого процесса, что и для процесса МА(q): для обратимости ARMA(p, q)-процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения МА(q)-процесса лежали бы вне единичного круга.

Автокорреляционная функция анализируется аналогично, тому как это делалось для AR- и МА-процессов, что позволяет сделать следующие выводы.

1) Из соотношений () = 1(1) +…+ p(p) + () 1(1) … q(q), (где (k) = E(tkt) «перекрестная» ковариационная функция последовательностей t и t) для = 0, 1,…, q следует, что ковариации (0), (1),…, (q) и, соответственно, автокорреляции r(1),…, r(q) связаны определенной системой зависимостей с q параметрами скользящего среднего 1,…, q и p параметрами авторегрессии 1,…, p. При этом перекрестные ковариации (), (1),…, (q) при положительных значениях сдвига по времени равны нулю, а при отрицательных тоже могут быть выражены в терминах параметров 1,…, p,1,…, q с помощью следующего приема: пусть k > 0; тогда (k) = E(tkt); в произведении tkt с помощью (k + 1)-кратной последовательной подстановки первого сомножителя по формуле (2.30) он заменяется линейной комбинацией t1, элементов белого шума и параметров модели, что после применения к получившемуся произведению операции усреднения E дает выражение, зависящее только от параметров модели (поскольку E(t1t) = 0).

2) Значения автокорреляционной функции r() для q + 1 вычисляются по рекуррентному соотношению r() = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p) при q + 1, которое в точности повторяет аналогичное рекуррентное соотношение (2.24) для автокорреляционной функции процесса AR(p). Это значит, что, начиная с = q + 1, автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) ведет себя так же, как и автокорреляционная функция процесса AR(p), т.е. она будет состоять из совокупности затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид, и ее свойства определяются коэффициентами 1,…, p и начальными значениями r(1),…, r(p).

Частная автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) при больших ведет себя как частная автокорреляционная функция МА(q)-процесса. Это значит, что в ней преобладают члены типа затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид (соотношение между теми и другими зависит от порядка скользящего среднего q и значений параметров процесса).

Спектральная плотность процесса ARMA(p, q) может быть вычислена с помощью соотношения:

Идентификация процесса ARMA(p, q) базируется (так же как и AR-и МА-моделях) на статистическом оценивании параметров модели с помощью метода моментов. Процедура оценивания параметров k (k = 1, 2,…, p), j (j = 1, 2,…, q)и разбивается на два этапа. На 1-м этапе получаются оценки параметров k, на 2-м оценки параметров j и.

1-й этап. Параметры автокорреляционной составляющей модели (2.30) удовлетворяют системе линейных уравнений:

Подставляя в (2.32) вместо r(k) их выборочные значения и решая получившуюся систему относительно j (j = 1,…, p), получаем оценки.

2-й этап. Подставляя полученные оценки в (2.30) получаем набор из q + 1 соотношений:

Эта система позволяет получить нелинейные зависимости, связывающие искомые параметры, 1,…, q с автоковариациями и построенными на 1-м этапе оценками.

Заключение

Эконометрика - метод экономического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими и математическими методами анализа. Это попытка улучшить экономические прогнозы и сделать возможным успешное планирование экономической политики. В эконометрике экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпирически статистическими методами. Данная система используется, чтобы создать модели с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко, несмотря на то, что полученные с помощью нее прогнозы не всегда оказывались достаточно точными.

Проблемы в эконометрики многочисленны и разнообразны. Экономика - это сложный, динамический, многомерный и эволюционирующий объект, поэтому изучать ее трудно. Как общество, так и общественная система изменяются со временем, законы меняются, происходят технологические инновации, поэтому найти в этой системе инварианты непросто. Временные ряды коротки, сильно агрегированы, разнородны, нестационарны, зависят от времени и друг от друга, поэтому мы имеем мало эмпирической информации для изучения. Экономические величины измеряются неточно, подвержены значительным позднейшим исправлениям, а важные переменные часто не измеряются или ненаблюдаемы, поэтому все выводы неточны и ненадежны. Экономические теории со временем меняются, соперничающие объяснения сосуществуют друг с другом, и поэтому надежная теоретическая основа для моделей отсутствует. И среди самих эконометристов, по-видимому, нет согласия по поводу того, как следует заниматься их предметом.

В последние годы большое внимание в эконометрической литературе уделяется анализу структурных свойств экономических временных рядов. Это вызвано тем, что далеко не всегда значения временного ряда формируются под воздействием некоторых факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными флуктуациями. В последнее время появилось достаточно большое количество работ, в которых рассматриваются различные эконометрические аспекты развития Российской экономики.

Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

Литература

1. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики, М.: Инфра-Н, 2000г.

2. Елисеева И.И. Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Москва, «Финансы и статиска» 2005.

3. А.О.Крыштановский. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья]

4. Шмойлова Р. А. Теория статистики, М.: Финансы и статистика, 1996г.

5. Теория статистики. Учебник./Под ред. Шмойлова Р. А. 3-е изд., перераб.-М.: Финансы и статистика, 2002

6. Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: Аудит, 2001. - 248 с.

7. Кильдишев Г.С., Овсиенко В.Е., Рабинович П.М., Рябушкин Т.В. Общая теория статистики. - М.: Статистика, 2001. - 423 с.

8. Практикум по статистике: Учебное пособие для вузов (Под ред. В.М. Симчеры). ВЗФЭИ. - М.: ЗАО «Финстатинформ», 2001. - 259 с.

Временным рядом (динамическим рядом ) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда .

В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:

y t = u t + v t + c t + ε t (t= 1, 2, …, n),

где u t – тренд, v t – сезонная компонента, c t – циклическая компонента, ε t – случайная компонента.

Стационарные временные ряды.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд y t (t= 1, 2, …, n ) называется строго стационарным , если совместное распределение вероятностей n наблюдений y 1 , y 2 ,…, y n такое же, как и n наблюдений y 1+τ , y 2+τ ,…, y n +τ при любых n, t, и τ . Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t .

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y 1 , y 2 , …, y n и y 1+τ , y 2+τ , …, y n +τ можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ) :

Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции .

Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией , а ее график - коррелограммой .

Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции ):

где r ij , r ik r jk – выборочные коэффициенты корреляции.

Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y t и y t +2 при устранении влияния y t +1 определяется по формуле:

где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y t и y t +1 , y t +1 и y t +2 , и y t и y t +2 соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(p ), скользящей средней СС(q ) или авторегрегрессионной модели скользящей средней АРСС(p,q ) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной – АR(p ), скользящей средней – MA(q ) и авторегрегрессионной модели скользящей средней АRMA(p,q ).)

Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС-модели, в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило, не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР-модели, и с помощью СС-модели.

y t = β 0 + β 1 y t -1 + β 2 y t -2 +…+ β p y t - p +ε t , (t= 1, 2, …, n),

где β 0 , β 1 ,… β p – некоторые константы.

Если исследуемый процесс y t в момент t определяется его значениями только в преды-дущий период t-1 , то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АР(1)).

y t = β 0 + β 1 y t -1 +ε t , (t= 1, 2, …, n),

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q )) имеет вид:

y t = ε t – γ 1 ε t-1 – γ 2 ε t-2 –…– γ q ε t- q (t= 1, 2, …, n).

Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:

y t = β 0 + β 1 y t -1 + β 2 y t -2 +…+ β p y t - p + ε t – γ 1 ε t-1 – γ 2 ε t-2 –…– γ q ε t- q .

Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше p незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше p .

Если все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели скользящей средней, порядок которой не выше q .

Нестационарные временные ряды.

Пусть имеется временной ряд

y t = ρy t -1 + ξ t .

Предположим, что ошибки ξ t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:

Δy t = λy t -1 + ξ t ,

где Δy t = y t – y t -1 , λ= ρ-1.

Если ряд Δy t является стационарным, то исходный нестационарный ряд y t называется интегрируемым (или однородным ).

Нестационарный ряд y t называется интегрируемым (однородным) k-го порядка , если после k -кратного перехода к приращениям

d k y t = d k-1 y t – d k-1 y t-1 ,

где d 1 y t = Δy t , получается стационарный ряд d k y t .

Если при этом стационарный ряд d k y t корректно идентифицируется как АРСС(p,q ), то нестационарный ряд y t обозначается как АРПСС(p,k,q ). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q )) порядков p , k , q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Модели с распределенными лагами.

При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l , характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом , а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными . Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами :

В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:

y t = a + b 0 x t + b 1 x t-1 + … + b l x t-l +ε t .

Коэффициент b 0 характеризует среднее абсолютное изменение y t при изменении x t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t , без учета воздействия лаговых значений фактора x . Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором .

Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:

b = b 0 + b 1 + … + b l .

Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x .

Величины β j =b j /b (j = 0,…,l ) называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t . Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг (l Me) – представляет собой период времени, в течение которого будет реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

Оценка модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.

Метод Алмон.

Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:

b j = c 0 + c 1 ·j + c 2 ·j 2 + … + c k ·j k . (5.1)

Уравнение регрессии примет вид:

y t = a + c 0 ·z 0 + c 1 ·z 1 + c 2 ·z 2 + … + c k ·z k + ε t , (5.2)

где , i = 1,…,k ; j =0,…,l . (5.3)

Схема расчета параметров модели:

1. устанавливается максимальная величина лага l ;

2. определяется степень полинома k , описывающего структуру лага;

3. по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных z 0 , z 1 ,…, z k ;

4. обычным методом наименьших квадратов определяются
параметры уравнения линейной регрессии y t от z i (5.2);

5. рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).

Метод Койка.

Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:

, j = 1, 2, … 0 < λ < 1. (5.4)

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

y t = a + b 0 x t + b 0 ·λ x t-1 + b 0 ·λ 2 x t-2 +… +ε t .

После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:

y t = a·(1 – λ) + b 0 ·x t + (1 – λ) y t-1 + u t ,

где u t = ε t – λ ε t-1 .

Определив параметры данной модели, находятся λ и оценки параметров a и b 0 исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b 1 , b 2 ,… .

Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:

Пример 5. По данным о динамике товарооборота (Y , млрд. руб.) и доходах населения (X , млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

Y t = 0,50∙X t + 0,25∙X t -1 + 0,13∙X t -2 + 0,13∙X t -3 + ε t .

(0,06) (0,04) (0,04) (0,06)

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии. Значение R 2 = 0,98.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определить краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Решение.

1. Проверка значимости отдельных коэффициентов модели дает следующие расчетные значения t-статистики для коэффициентов:

t b 0 = 0,50/0,06 = 8,33; t b 1 = 0,25/0,04 = 6,25;

t b 2 = 0,13/0,04 = 3,25; t b 3 = 0,13/0,06 = 2,17.

Таким образом, все коэффициенты оказываются значимыми, и выбор величины лага l =3 является оправданным. Об адекватности полученной модели свидетельствует и высокое значение коэффициента детерминации.

2. Краткосрочный мультипликатор в модели равен b 0 = 0,50. Он показывает, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. ведет в среднем к росту товарооборота на 0,5 млрд. руб. в том же периоде.

Долгосрочный мультипликатор для полученной модели составит:

b = b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 0,50 + 0,25 + 0,13 + 0,13 = 1,01.

Получаем, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. в настоящий момент времени в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) приведет к росту товарооборота на 1,01 млрд. руб.

Рассчитаем относительные коэффициенты модели:

β 0 = 0,50/1,01 = 0,495; β 1 = 0,25/1,01 = 0,248;

β 2 = 0,13/1,01 = 0,129; β 3 = 0,13/1,01 = 0,129.

Следовательно, 49,5% общего увеличения товарооборота, вызванного ростом доходов населения, происходит в текущий момент времени; 24,8% - в момент времени (t +1); 12,9% - в моменты времени (t +2) и (t +3).

3. Средний лаг в модели определяется следующим образом:

Величина среднего лага меньше месяца, что подтверждает, что эффект роста доходов населения на объем товарооборота проявляется сразу же.

Медианный лаг для данной модели составляет чуть более 1 месяца. ¨

Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.

В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.

Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.

Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:

x(t) = a 0 + ε(t) ,

где a 0 – неизвестный параметр, не зависящий от времени, ε(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.

В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+τ) для неизвестного значения x(t+τ) по известной до момента времени t траектории ряда x(t) строится по формуле:

x*(t; τ) = S(t),

где значение экспоненциально взвешенной скользящей средней S (t ) определяется по рекуррентной формуле:

S(t) = αx(t) + (1-α) S(t-1).

Коэффициент сглаживания α можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования , характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы следует, что экспоненциально взвешенная скользящая средняя является взвешенной суммой всех уровней ряда x(t) , причем веса уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое.

В качестве S (0) берется, как правило, среднее значение ряда динамики или среднее значение нескольких начальных уровней ряда.

Случай линейного тренда: x(t) = a 0 + a 1 t + ε(t) .

В этом случае прогноз x*(t; τ) будущего значения определяется соотношением:

x*(t; τ) = ,

а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:

Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.

Модель Хольта.

В модели Хольта введено два параметра сглаживания α 1 и α 2 (0< α 1 , α 2 <1). Прогноз x*(t;l) на l

x*(t; τ) = ,

а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:

Модель Хольта-Уинтерса.

Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз x*(t;τ) на τ шагов по времени определяется формулой:

x*(t;τ) = ,

где f(t) – коэффициент сезонности, а T – число временных тактов (фаз), содержащихся в полном сезонном цикле.

Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно . Формулы обновления коэффициентов имеют вид:

Модель Тейла-Вейджа.

Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мульти-пликативной сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.

Имеется модель:

x(t) = a 0 (t) + g(t) + δ(t),

a 0 (t) = a 0 (t-1) + a 1 (t).

Здесь a 0 (t) – уровень процесса после устранения сезонных колебаний, a 1 (t) – аддитивный коэффициент роста, ω(t) – аддитивный коэффициент сезонности и δ(t) – белый шум.

Прогноз x*(t;τ) на τ шагов по времени определяется формулой:

x*(t;τ) = .

Коэффициенты вычисляются рекуррентным способом по формулам:

Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные наборы их значений и сравнивают получающиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов.

← Вернуться