Для решения большинства статически неопределимых встречающихся на практике задач обозначенные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методах раскрытия статической неопределимости на примере стержневых систем.

Под стержневой системой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то стержневая система называется фермой (рис. 1).

Рис.1. Расчетная схема формы

Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники. Для формы характерно приложение внешних сил в узлах.

Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 2).

Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов до и после деформации расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рис. 2,а ).

Наряду с плоскими рассматриваются так называемые плоско-пространственные системы. Для такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости. Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных к этой плоскости (рис. 2,в) . Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (рис.2,в ).

Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые . Под статически определимой понимается такая кинематически неизменяемая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении. Под статически неопределимой системой имеется в виду такая, опять же кинематически неизменяемая система, для которой определение внешних реакций и внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия.

а) плоская, б) плоскопространственная. в) пространственная

Рис.2. Расчетные схемы рамных конструкций:

Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени или числа статической неопределимости . В зависимости от этого числа системы разделяются на один, два, три...., n раз статически неопределимые. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Положение жесткого бруса в пространстве определяется шестью независимыми координатами, иначе говоря, жесткий брус обладает шестью степенями свободы. На брус могут быть наложены связи, т. е. ограничения, обусловливающие его определенное положение в пространстве. Наиболее простыми связями являются такие, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений бруса. Наложение одной связи снимает одну степень свободы с бруса как с жесткого целого. Следовательно, если на свободный жесткий брус наложено шесть связей, то положение его в пространстве как жесткого целого будет, за некоторыми исключениями, определено полностью и система из механизма, обладающего шестью степенями свободы, превращается в кинематически неизменяемую систему. То число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, носит название необходимого числа связей . Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительной . Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы.

Связи в рамах и стержневых системах делят обычно на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимаются условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы.

а)внешняя связь, б) две внешние связи в) шесть внешних связей в общем случае

Рис.3. Схемы эквивалентных связей

Если, например, на левый конец бруса (рис. 3, а ) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно она изображается в виде двух шарниров или катка. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное смещение, говорят, что наложены две внешние связи (рис. 3, б ). Заделка в плоской системе дает три внешние связи. Пространственная заделка соответствует шести внешним связям (рис. 3, б ). Внешние связи часто, как уже упоминалось, делят на необходимые и дополнительные. Например, на рис. 4, а и б показана плоская рама, имеющая в первом случае три внешние связи, а во втором - пять внешних связей. Для того чтобы определить положение рамы в плоскости как жесткого целого, необходимо наложение трех связей. Следовательно, в первом случае рама имеет необходимые внешние связи, а во втором, кроме того, две дополнительные внешние связи.

а) три внешних связи, б) пять внешних связей

Рис.4. Плоская рама

Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Здесь также можно говорить как о необходимых, так и о дополнительных связях. Так, например, плоская рама, показанная на рис. 5, а , имеет необходимое количество как внешних, так и внутренних связей между элементами. Это - кинематически неизменяемая система. Если будут заданы внешние силы, мы сможем найти как реакции опор, так и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении рамы. В той же раме, показанной на рис. 5, б , дополнительно наложены две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное смещения точек А и В . Система в данном случае дважды статически неопределима (иногда добавляют: «внутренним образом»).

В раме рис. 4, а и б также имеются внутренние дополнительные связи. Контур рамы полностью замкнут. Разрезая его в любом сечении (рис.5 в), мы, не нарушая кинематической неизменяемости, получаем возможность при заданных силах найти внутренние силовые факторы в каждом сечении рамы. Следовательно, разрезая замкнутую раму, мы снимаем дополнительные связи, т.е. позволяем сечениям А и В поворачиваться и смещаться в двух направлениях друг относительно друга. Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский контур имеет три дополнительные взаимные связи- трижды статически неопределим. Таким образом, рама, показанная на рис. 4, а , трижды статически неопределима. Рама, показанная на рис. 4, б , пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза - внешним).

а) кинематически неизменяемая, б) неопределимая внутренним образом, в)со снятием дополнительных связей

Рис.5. Классификационные признаки рам:

Рассмотрим теперь несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем. На рис. 6 показано несколько рам. Последовательно рассмотрим их.

а) Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и три взаимные связи, т. е. семь раз статически неопределима.

б) Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует. Тогда имеются две внешние и три внутренние дополнительные связи. Система без шарнира А была бы пять раз статически неопределимой.

Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира (рис. 7). Так как каждый шарнир снимает одну связь, т. е. разрешает поворот одного сечения относительно другого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти - три раза статически неопределимой.

Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней. В данном случае в шарнире А сходятся три стержня и шарнир снимает две связи.

а) статически неопределимая - семь, б) - три, в) - четыре, г) - три, е) - двенадцать,
ж) - семь, д) - три, и) - тринадцать раз статически неопределима

Рис.6. Примеры рамных конструкций:

в) Если бы шарнир А отсутствовал, система была бы четыре раза внешним образом и три раза внутренним образом статически неопределимой, т. е. всего семь раз. Шарнир А снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней, т. е. три связи. Рама четыре раза статически неопределима.

г) Рама три раза статически неопределима.

д) Внешние связи не удовлетворяют условиям кинематической неизменяемости. Это - механизм, точнее говоря, мгновенный механизм. Система имеет возможность поворачиваться относительно верхней опоры как жесткое целое Понятно, что угол поворота будет небольшим. Нижняя связь заклинится и будет достигнуто какое-то положение равновесия, но новое положение связей будет зависеть от жесткости системы. К раме неприменимы основные принципы сопротивления материалов: принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил.

Рис.7. модель двух совпадших шарниров

е) Рама - пространственная. Имеется шесть дополнительных внешних связей (лишняя заделка) и шесть дополнительных взаимных связей (замкнутый контур) Система 12 раз статически неопределима.

ж) Система семь раз статически неопределима (один раз внешним образом и шесть раз - внутренним).

з) Здесь для плоской рамы не показаны внешние связи, но дана система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В таком случае условились считать, что дополнительных внешних связей нет, и положение рамы в пространстве считается определенным; рассматриваются только внутренние связи. Система три раза статически неопределима.

и) Здесь также рассматриваются только внутренние связи, поскольку система указанных внешних сил удовлетворяет условиям равновесия. Нужно подсчитать, сколько сечений необходимо сделать в раме, чтобы, с одной стороны, она не «рассыпалась», а с другой, чтобы в ней не осталось ни одного замкнутого контура. Таких сечений следует сделать пять (см. рис. 6, и ). Система 30 раз статически неопределима.

Лекция № 38. Метод сил.

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил . Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.

Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы .

а-д) модификации основной системы
Рис.1. пример стержневой рамы:

Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а ), б ),..., которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах,- с другой.

Рис.2. Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах - в)

После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X i -, где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X i , - являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.

а)-д) по отношению к заданной системе
Рис.3. Пять разновидностей основных систем

Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы . На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений.

Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.

Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.

Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через обозначать взаимное смещение точек системы.

Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б)

Первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй - силе, вызвавшей это перемещение.

В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:

Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х 1 , а индекс [Х 1 , Х 2 ,..., Р ] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать:

Так как под величиной понимается взаимное смещение точек, то обозначает вертикальное смещение точки В относительно С , - горизонтальное взаимное смещение тех же точек, есть взаимное угловое смещение сечений В и С . Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина .

В точках A и D смещения являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.

Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений

Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых , входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину можно записать в следующем виде:

Что касается перемещений , и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р , а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины , ,... в уравнениях оставим неизменными.

Теперь уравнения примут вид:

Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил . Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).

Если , то

Следовательно, коэффициент это есть перемещение по направлению i -го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k -й фактор. Например, коэффициент уравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С , которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил приложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет , горизонтальное перемещение в точке А будет и т. д.

а) , б) и
Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:

Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения . Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.

Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину , следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k -й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы , , , , и в интегралах Мора заменим на , , , , и , понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k -го фактора. В итоге получим:

где , … - внутренние моменты и силы, возникающие под действием i -го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты получаются как результат перемножения i -го и k -го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то представляет собой результат перемножения i -х единичных эпюр на k -е единичные эпюры.

Очевидно, что

Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для , а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения и возникают под действием одной и той же силы, равной единице.

Величины , входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2,..., возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.

Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.

Рис.6. Заданная расчетная схема

Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами , и моментом и определяем эквивалентную систему (рис. 7).

Рис.7. Динамика решения: от эквивалентной системы и силовой эпюры Р , включая эпюры моментов от единичных сил: 1, 2, 3 в точках приложения неизвестных , ,

Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:

Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7).

Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ . Величина определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:

Заметим, что величины при всегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.

, , , , , , , .

Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:

, ,

Решая эти уравнения, находим:

Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.

Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.

Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в , и раза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.

Лекция № 39. Расчет толстостенных цилиндров.

В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределенными по толщине стенки. Это допущение мало отзывается на точности расчета.

В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к большим погрешностям. Расчет таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852 - 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.

На Рис.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом , внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению .

Рис.1. Расчетная схема толстостенного цилиндра.

Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим . Пусть АВ изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу .

Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмем равным единице. Пусть и будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ , a - напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента AB , совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение , вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.

(1)

Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо обратиться к рассмотрению деформаций. Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном, перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовем радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через u (Рис.3). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину ; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du , и относительное удлинение материала в радиальном направлении будет

R и подставим в него значение и и то прочность цилиндра определяется этими последними. Применяя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), получаем, что наибольшая разность главных напряжений, равная (для случая )

(11)

Рис.3. Распределение напряжений по толщине цилиндра при

будет иметь место в точках внутренней поверхности цилиндра и всегда будет по абсолютной величине значительно больше внутреннего давления.

Общие сведения

Расчет статически неопределимых систем методом сил начинают с вы­явления степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости любой системы может быть установлена по формуле, которая для выявления степени статической неопределимости рам будет иметь вид:

Л = 3К - Ш, (23)

где Л – число лишних связей, К – число контуров, а для неразрезных балок - формулой (24):

Л = С оп - 3, (24)

где С оп - число опорных стержней.

Остановимся на применении формулы (23).

Пример 7.1.

Пользуясь формулой (23), опреде­лить степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Рама

Решение

Рама состоит из двух замкнутых контуров I и II. Шарнирно-неподвижная опора А равноценна одному простому шарниру, шарнирно-подвижная опора В - двум шарнирам. Следова­тельно, Ш= 1 + 2 = 3.

Степень статической неопределимости Л = 3К - Ш=3∙2 - 3 ==3 - рама трижды ста­тически неопределима.

Пример 7.2.

Определить степень статической неопределимости рамы, приведенной на рис. 7.2.

Рис. 7.2. 3-х контурная рама. Рис. 7.3. 6-ти контурная рама

Решение

Рама имеет три замкнутых контура (I, II и III). Сум­марное число шарниров Ш = 6 (два простых шарнира - Е и F и две шарнирно подвижные опоры -A и D). Число лишних связей Л =3∙3 - 6=3. Следовательно, рама трижды статически неопределима.

Пример 7.3.

Определить степень статической неопределимости рамы, изображённой на рис. 7.3.

Решение

В этой раме шесть замкнутых контуров. Простых шар­ниров - три (шарниры F,H и I ). Шарнир G - двукратный, как соединяю­щий три стержня. Каждая из шарнирно-подвижных опор А, В, D и Е эквивалентна двум простым шарнирам, а шарнирно-неподвижная опора С - одному. Следовательно, Ш = 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. Тогда степень статической неопределимости Л =3∙6-14 =4. Таким образом, рама имеет четыре лишние связи, т. е. является четырежды статически неопределимой.

После того как будет установлена степень статической неопределимости, выбирают основную систему.

Выбор основной системы

Основной системой будем называть геометрически неизме­няемую статически определимую систему, полученную из заданной стати­чески неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.

На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама - заданная система. Степень статической неопределимости этой системы:

Л = 3К - Ш =3∙1-0 =3.

Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи; по­следнее может быть выполнено различными способами, но в результате применения любого из них полученная основная система должна быть геометрически неизменяемой.

Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалент­ной трем лишним связям.

Рис. 7.4. Выбор основной системы

Теперь сечение В основной системы может перемещаться по горизонталь­ному и вертикальному направлениям и поворачиваться в плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует правая защемляющая опора.

Чтобы устранить различие между заданной и основной системами, поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему заданной нагрузкой q и вточке В ее, по направлениям указанных переме­щений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные, горизонтальную и вертикальную силы Х 1 ; Х 2 и момент Х 3 .

Величины Х 1 ; Х 2 ; X 3 называются лишними неизвестными и являются искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшен­ных лишних связей на заданную систему.

Обращаем внимание, на то, что основная система, нагружен­ная заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внут­ренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопре­делимой.

Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной задан­ной нагрузкой и лишними неизвестными.

Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулю суммарного пере­мещения по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом, три канонических уравнения, имеющих следующий вид:

δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆ 1 p = 0

δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 p = 0 (25)

δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3 p = 0

Где δ 11 -перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 11 X 1 -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное полным значением X 1 ;

δ 12 - перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы, вызванное единич­ной силой

δ 12 X 2 - перемещение той же точки в том же направле­нии, вызванное полным значением силы Х 2 ;

δ 13 - перемещение точки приложения силы Х х по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 13 X 3 - перемещение той же точки в том же направлении, вызван­ное полным значением силы Х 3 ;

∆ 1 p -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной нагрузкой; δ 21 X 1 - перемещение точки приложения силы Х 2 по направлению этой силы, вызванное силой X 1 , и т. д.

Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз стати­чески неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для любой трижды статически неопределимой системы.

Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вы­числению единичных δ ik и грузовых ∆ ip перемещений.

Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном состояниях основной системы.

Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она находится только под действием заданной нагрузки.

Единичным будем называть состояние основной системы, при ко­тором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, дейст­вующей в направлении неизвестной реакции X t .

Заметим, что число единичных состояний основной системы должно соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,

т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им грузовую М р и единичные M 1 , M 2 , ..., М п эпюры изгибающих моментов.

Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единич­ные δ ik и грузовые ∆ ip перемещения.

Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о взаимности пере­мещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с взаимно пере­ставленными индексами равны между собой, т. е. δ ik = δ ki .

Вычисленные значения δ ik и ∆ ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X 1 , X 2 , ..., Х п.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X 1 = А 1 ;Х 2 = А 2 , ..., Х п = А п, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры М р с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

Умноженными на X 1 , ординатами эпюры , умноженными на Х 2 ..., и ординатами эпюры , умноженными на Х п, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ 11 , δ 22 , δ 33 и т.д.) принято называть главными перемещениями , а с разными индексами

(δ 12 , δ 13 , δ 23 и т.д.) - побочными .

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

1. Схему вычерчиваем в масштабе . Нумеруем стержни.

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции R А и Н А . В стержнях 1 и 2 возникают усилия N 1 и N 2 . Применим . Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N 1 и N 2 направим от сечения.

Составляем уравнения равновесия

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1 . Значит, система , и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение . Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы . Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы .

Схема деформаций

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС 1 и АВВ 1 . Из подобия треугольников АВВ 1 и АСС 1 запишем соотношение:

, где ВВ 1 =Δℓ 1 (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС 1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

Из рисунка видно, что СС 2 = СС 1 ·cos (90º-α )= СС 1 ·sinα .

Но СС 2 = Δℓ 2 , тогда Δℓ 2 = СС 1 ·sinα , откуда:

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью . При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

Тогда будет:

Сокращаем обе части на Е , подставляем числовые значения и выражаем N 1 через N 2

Подставим соотношение (6) в уравнение (3) , откуда найдем:

N 1 = 7,12кН (растянут),

N 2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней , и в верхней опоре. Покажем их произвольно , это реакции R A и R В . Составим уравнение статики .

∑у =0 R A - F 1 + F 2 - R В =0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно , значит задача 1 раз статически неопределима , и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций . В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора , т.е. Δℓ =Δ , это условие совместности деформации.

1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно , двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию . Направляем N от сечения .

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N 1 = - R А

N 2 = 120 - R А

N 3 = 120 - R А

N 4 = 30- R А

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации . Имеем 4 участка, значит

Δℓ 1 + Δℓ 2 + Δℓ 3 + Δℓ 4 = Δ (величина зазора).

Используя формулу для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций , — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м

Е – модуль упругости, Е =2·10 5 МПа=2·10 8 кПа .

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию R А .

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил .

N 1 =- R А = -47,5кН

N 2 =120 - R А = 72,5кН

N 3 =120 - R А = 72,5кН

N 4 =30- R А = -17,5кН.

5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры

Строим эпюру нормальных напряжений.

Проверяем прочность .

σ max = 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена .

1. Вычисляем перемещения , используя формулу для деформаций.

Идем от стены А к зазору .

Получили величину ω 4 , равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений .

На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м 3). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·10 5 МПа, А = 11 см 2 , а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения . Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1 . Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как Оно будет вызываться собственным весом участка а+в

Тогда полное перемещение сечения 1-1 :

Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Q доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ; 3) найти предельную грузоподъемность системы, если предел текучести 4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см 2

Данная система один раз статически неопределима . Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

(1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:(2)

По закону Гука имеем:

Длины стержней : Тогда получим:

Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

Определяем напряжение в стержнях:

В предельном состоянии: Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

При сравнении видим увеличение нагрузки:

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.
Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части

Составим уравнение статики: N C + N M - P= 0 , N C + N M = P (1)

Задача статически неопределима. Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы : (2) или Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне:

(3) Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости . При Е С = 2·10 5 МПа, Е М = 1·10 5 МПа:

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2 . 10 5 МПа, А = 25 см 2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим уравнение статики: ∑y = 0; С + В – Р = 0; (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 мм (2);

Чтобы найти абсолютную деформацию , необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С , на втором разности (С- Р) . Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций: (3)

Подставляем выражение (3 ) в выражение (2) и находим: С = 150 кН , а из (1) B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение .

Точки С, D и К переместятся в положения С 1 , D 1 и К 1

Согласно картине деформирования СС 1 =Δℓ 1 , DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2 , KK 1 = Δℓ 3 , при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие , а стержень 2 – растяжение.

В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:

Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС 1 и BDD 1 , треугольников ВСС 1 и BKK 1 следует:

Согласно закона Гука абсолютные деформации:

Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия, получим:

N 1 =14,3 кН (стержень сжат), N 2 =71,5 кН (стержень растянут), N 3 =42,9 кН (стержень сжат).

Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения:
Задача решена.

Ступенчатый медный стержень нагревается от температуры t Н =20ºС до t К =50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.

Уравнение совместности деформаций следует из условия, что перемещения внешних связей равны 0 — W В =0 или W К =0. Таким образом:

Откуда:

В результате R B =20723Н.

Нормальные силы и напряжения на участках:

Согласно результатам расчетов σ max =│69,1│MПа , при этом σ max < σ adm , (69,1<80). Следовательно, условие прочности стержня выполняется.

Расчет стержня с зазором. Для стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня:

В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.

Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня :

Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации :

Определим нормальные (продольные) силы , идем от стены к зазору:

Подставим все найденные значения в дополнительное уравнение:

После подстановки исходных данных и сокращений:

Из уравнения равновесия получаем:

Таким образом, R В =40,74 кН, R К =9,26 кН.

Расчет нормальных сил:
Строим эпюру N

Расчет нормальных напряжений:
Строим эпюру нормальных напряжений

Расчет перемещений характерных сечений.

Принимается правило знаков для перемещений: вниз – положительные, вверх – отрицательные.
Строим эпюру перемещений.

Дана статически неопределимая стержневая система (деталь ВСD — жесткая). Требуется подобрать площади поперечных сечений стержней 1 и 2.

Обозначим усилия в стержнях 1 и 2 соответственно N 1 и N 2.

Покажем схему системы с усилиями N 1 и N 2

Составим для данной системы уравнение равновесия, исключая из рассмотрения реактивные силы в опоре С Данное уравнение содержит два неизвестных: N 1 и N 2 . Следовательно, система один раз статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение. Это уравнение деформаций. Покажем систему в деформируемом состоянии под действием нагрузки:

Из анализа системы в деформируемом состоянии следует, что:

Поскольку , и учитывая, что можно записать: Последняя запись и есть необходимое дополнительное уравнение деформаций .

Запишем значения абсолютных деформаций стержней:

Тогда с учетом исходных данных дополнительное уравнение примет вид:

Принимая во внимание уравнение равновесия , получим систему:

Из решения этой системы уравнений следует:

N 1 =48кН (стержень растянут), N 2 =-36,31кН (стержень сжат) .

Согласно условию прочности стержня 1:

тогда с учетом условия А 1 =1,5А 2 по заданию, получаем

Согласно условию прочности стержня 2 :Тогда

Окончательно принимаем:

Стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия, называются статически неопределимыми .

Разность между числом искомых неизвестных усилий и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы . Степень статической неопределимости всегда равна числу избыточных (лишних) связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую геометрически неизменяемую систему. Избыточными могут быть как внешние (опорные) связи, так и внутренние, накладывающие определенные ограничения на перемещение сечений системы друг относительно друга.

Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Геометрически изменяемой называется такая система, элементы которой могут перемещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).

Изображенная на рис. 12.1 рама имеет семь внешних (опорных) связей. Для определения усилий в этих связях (опорных реакций) можно составить всего лишь три независимых уравнения равновесия. Следовательно, данная система имеет четыре избыточных связи, а это означает, что она четыре раза статически неопределима. Таким образом, степень статической неопределимости для плоских рам равна:

где R - число опорных реакций.

Контур, состоящий из ряда элементов (прямых или криволинейных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, называется замкнутым . Прямоугольная рама, изображенная на рисунке 12.2, представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую необходимо перерезать один из ее элементов и устранить три лишние связи. Реакциями этих связей являются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действующие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики. В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически неопределим .

Включение шарнира в узел рамы, в которой сходятся два стержня, или же постановка его в любое место на оси стержня снимает одну связь и снижает общую степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называется одиночным или простым (рис. 12.3).

В общем случае каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий c стержней, снижает степень статической неопределимости на c -1 , так как такой шарнир заменяет c -1 одиночных шарниров (рис. 12.3). Таким образом, степень статической неопределимости системы при наличии замкнутых контуров определяется по формуле.

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Казань, 2006 г.

Составитель: Р.А.Каюмов

УДК 539.3

Расчет статически неопределимой стержневой системы, содержащей абсолютно жесткий элемент; Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / КазГАСУ; сост. Р.А. Каюмов. Казань, 2005, 24 с.

В данных методических указаниях кратко излагается методика расчета простейших ферменных конструкций с жестким элементом и приводится пример расчета.

Илл.6.

Рецензент канд.физ.-мат. наук, проф. Кафедры теоретической механики КГАСУ Шигабутдинов Ф.Г.

ã Казанский государственный архитектурно-строительный университет

ЗАДАНИЕ № 3

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ШАРНИРНО-стержневой системы

Для заданной шарнирно-стержневой системы (см.схему), состоящей из абсолютно жесткого бруса и упругих стержней с заданными соотношениями площадей поперечных сечений, требуется:

1. Установить степень статической неопределимости.

2. Найти усилия в стержнях.

3. Записать условия прочности для стержней от силовых воздействий и произвести подбор поперечных сечений стержней с учетом заданных соотношений площадей. Материал Ст-3, предел текучести принять равным 240 МПа = 24 кН/см 2 , коэффициент запаса прочности k = 1,5.

4. Найти напряжения в стержнях от неточности изготовления стержней d 1 = d 2 = d 3 = (см. табл.3). Если имеет знак плюс, то, значит, стержень сделан длиннее; если минус – короче.

5. Найти напряжения в стержнях от изменения температуры в стержнях на Dt° (см. табл.3). Коэффициент линейного расширения для стали 1/град.

6. Сделать проверку прочности системы при различных вариантах силовых и несиловых воздействий: 1) конструкция собрана, еще не нагружена, но произошел перепад температур; 2) случай, когда нет перепада температур, а конструкция собрана и нагружена. 3) случай, когда конструкция собрана, нагружена и произошел перепад температур.

7. Определить предельную грузоподъемность системы и истинный коэффициент запаса прочности, приняв постоянное соотношение между и .

Задание выполняется в полном объеме студентами специальностей ПГС и АД. Студенты других специальностей выполняют расчет системы только на внешнее нагружение по допускаемым напряжениям и по допускаемой нагрузке, исключив стержень 3.

Исходные данные для выполнения расчетно-графической работы выбираются по шифру, выдаваемому преподавателем.

Схемы к заданию № 3

таблица 3

	А	Б	В	Г	Б	в	В
, кН	, кН/м	, м	, м	, м	, м	, м		, мм
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается шарнирно-стержневая система (рис.1), состоящая из жесткого бруса и деформируемых стержней, изготовленных с заданным соотношением площадей поперечных сечений, которое указывается в задании. Известны проектные нагрузки F , q ; размеры конструкции h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3 ; проектные колебания температуры: Dt 1 - в первом стержне, Dt 2 - во втором, Dt 3 - в третьем; неточности изготовления стержней, а именно d 1 – отличие от проектной длины в первом стержне, d 2 – во втором, d 3 – в третьем. Известны механические характеристики материала: модуль упругости Е = 2×10 4 кн/см 2 , предел текучести s т = 24 кн/см 2 , коэффициент температурного расширения a =125×10 -7 1/Град. Коэффициент запаса прочности k для этой конструкции принимается равным 1,5.

Необходимо решить 3 задачи:

1. Произвести подбор сечений стержней для изготовления этой системы из условия прочности этих стержней по допустимым напряжениям при проектных нагрузках.

2. Сделать заключение о допустимости проектных колебаний температуры и неточностей изготовления стержней.

3. Найти предельную грузоподъемность конструкции, допустимые нагрузки и истинный запас прочности.

Таким образом, работа состоит из проектировочного расчета, поверочного расчета, расчета предельных нагрузок для системы.

В РГР должны быть приведены 3 рисунка (выполненных в масштабе): исходная схема стержневой системы, силовая схема и кинематическая схема деформирования конструкции.

2. Метод сечений.

3. Закон Гука.

4. Удлинение от изменения температуры.

5. Предел прочности, допустимое напряжение, условие прочности.

6. Пластическое течение, предел текучести.

7. Статическая неопределимость.

8. Условие совместности деформаций.

9. Расчет по допускаемым напряжениям.

10. Расчет по теории предельного равновесия.

ОБЩИЙ ПЛАН РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ

Вначале конструкцию освобождают от связей, заменяя их реакциями. Методом сечений вводят в рассмотрение внутренние продольные силы (нормальные силы), возникающие в стержнях. При этом направлять их нужно от сечения, т.е. условно считать стержни растянутыми. Определить реакции и продольные силы из уравнений равновесия не удается, т.к. в плоской задаче статики можно составить 3 независимых уравнения равновесия, число же неизвестных силовых факторов (реакций и продольных сил) больше трех. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, вытекающие из предположения о деформируемости стержней (уравнения совместности деформаций, связывающие удлинения стержней между собой). Вытекают они из геометрических соображений. При этом используется предположение о малости деформаций. Кроме того, необходимо учесть следующее правило знаков. Полную разницу между проектной длиной стержня l и конечной истинной длиной l кон обозначают через Dl . Следовательно, если стержень удлиняется, то , если укорачивается, то .

Как видно из рис.2, изменение длины стержня Dl складывается из удлинения Dl ( N ) , вызванного усилием осевого растяжения N , удлинения Dl (t) , вызванного изменением температуры, и неточности изготовления d .

Если температура понижается, то Dt < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d < 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Поскольку удлинения выражаются через продольные силы по формулам (1), то из уравнений совместности вытекают соотношения, связывающие между собой искомые усилия. Здесь и далее для упрощения записи используются следующие обозначения: продольная сила и напряжение в стержне с номером i .

В рассматриваемой РГР не требуется отыскивать реакции. Поэтому из 3-х уравнений равновесия достаточно оставить одно – условие равенства нулю моментов всех внешних и внутренних сил относительно оси, проходящей через центр шарнира D (рис.1). Решение полученной системы (уравнений равновесия и совместности деформаций) позволяет отыскать усилия в стержнях.

Далее проводятся проектировочный (задача 1) и поверочный (задача 2) расчеты методом допустимых напряжений. За опасное напряжение принимается предел текучести s т . Согласно метода допустимых напряжений конструкция считается вышедшей из строя, если напряжение достигло опасного значения хотя бы в одном стержне, т.е. оказался разрушенным хотя бы один из стержней:

Для обеспечения безопасности конструкции требуется наличие запаса прочности, т.е. должно выполняться условие прочности вида

, (3)

где k - коэффициент запаса, [s ] - допустимое напряжение.

Разрушение одного элемента конструкции не всегда означает потерю ее эксплуатационных свойств (т.е. обрушения). Другие элементы могут взять на себя нагрузку или ее часть, которую должен был нести разрушенный элемент. Это соображение используется в задаче 3, решаемой методом предельного равновесия, называемого еще методом допустимых нагрузок .

В постановке задачи предполагается, что силы Р и Q увеличиваются пропорционально (Р / Q = const), площади сечений стержней известны из решения задачи 1, материал стержней - упруго-идеально-пластический. При увеличении нагрузки сначала "потечет" один стержень, напряжение в нем при дальнейшей деформации не будет увеличиваться и по модулю останется равным пределу текучести s т (см.рис.3). Последующее увеличение нагрузок приведет к тому, что сначала во втором, а затем и в третьем стержнях начнется пластическое течение, т.е. напряжения достигнут предела текучести. Очевидно, что какими бы ни были в начале процесса монтажные или температурные напряжения, наконец наступает момент, когда во всех стержнях напряжения достигнут предела текучести (т.к. они не могут принять больших значений, согласно диаграмме деформирования на рис.3). Достигнутые значения сил F = F пр и Q = Q пр называются предельными, т.к. их увеличение невозможно, а система начнет неограниченно деформироваться. Поскольку усилия N i в предельном состоянии известны (т.к. выражаются через напряжения), то из уравнения равновесия определяется F пр . Из условия безопасности нагружения находятся допустимые нагрузки

Как видно из рассуждений при решении задачи 3, наличие изменений температуры или неточностей изготовления стержней не уменьшает грузоподъемности конструкции, если стержни изготовлены из упруго-идеально-пластического материала.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Преподаватель может конкретизировать задачу подбора стержней, потребовав использовать сортамент прокатной стали, например, подобрать составное сечение из уголков по таблицам сортамента (см. пример расчета).

2. При вычислениях достаточно оставлять 3 значащие цифры.

3. При подборе размеров стержней допускается 5 % перегрузки.

Пример расчета

Пусть дана шарнирно-стержневая система (рис.4). Известно, что

E = 2×10 4 кн/см 2 , s т = 24 кн/см 2 , a = 125×10 -7 1/град. (5)

← Вернуться