Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов.
Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон , по количеству которых получают свои названия многоугольники.
Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков - четырехугольником, из пяти - пятиугольником и пр.
Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку - по часовой стрелке или против нее.
Основные понятия
Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:
- Если вершины являются концами одной стороны, они называются соседними.
- Если отрезок соединяет между собой несоседние вершины, то он имеет название диагонали. У треугольника не может быть диагоналей.
- Внутренний угол - это угол при одной из вершин, который образован двумя его сторонами, сходящимися в этой точке. Он всегда располагается во внутренней области геометрической фигуры. Если многоугольник невыпуклый, его размер может превосходить 180 градусов.
- Внешний угол при определенной вершине - это угол смежный с внутренним при ней же. Иными словами, внешним углом можно считать разность между 180° и величиной внутреннего угла.
- Сумма величин всех отрезков носит название периметра.
- Если все стороны и все углы равны - он носит название правильного. Правильными могут быть только выпуклые.
Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:
- Многоугольник называется плоским, если ограничивает конечную часть плоскости. Эта геометрическая фигура может быть вписанной в окружность или описанной вокруг окружности.
- Выпуклым называется n-угольник, который соответствует одному из условий, приведенных ниже.
- Фигура расположена по одну сторону от прямой линии, которая соединяет две соседних вершины.
- Эта фигура служит общей частью или пересечением нескольких полуплоскостей.
- Диагонали располагаются внутри многоугольника.
- Если концы отрезка располагаются в точках, которые принадлежат многоугольнику, весь отрезок принадлежит ему.
- Фигура может называться правильной, если у нее все отрезки и все углы равны. Примерами могут служить квадрат, равносторонний треугольник или правильный пятиугольник.
- Если n-угольник невыпуклый, все стороны и углы его равны, а вершины совпали с таковыми правильного n-угольника, он называется звездчатым. У таких фигур могут иметься самопересечения. Примерами могут служить пентаграмма или гексаграмма.
- Треугольник или четырехугольник называется вписанным в окружность, когда все его вершины располагаются внутри одной окружности. Если же стороны этой фигуры имеют точки соприкосновения с окружностью, это многоугольник описанным около некоторой окружности.
Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники . При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.
Виды фигур
Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.
Точки соединения отрезков - это вершины треугольника . Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.
По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:
- Равносторонние - у которых длина всех отрезков одинаковая.
- Равнобедренные - треугольники, у которых равны два отрезка из трех.
- Разносторонние - если длина всех отрезков разная.
Кроме того, принято различать следующие треугольники:
- Остроугольные.
- Прямоугольные.
- Тупоугольные.
Четырехугольник
Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.
- Если все углы четырехугольника прямые - эта фигура называется прямоугольником.
- Прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую величину, называется квадратом.
- Четырехугольник, все стороны которого равны, называется ромбом.
На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.
Видео
Дополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.
Свойства многоугольников
Многоугольник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис. 1а)), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым).
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят - 3 диагонали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно.
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т.д.
Многоугольник с n вершинами называется n- угольником.
Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
- 1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т.е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
- 2. он является пересечением (т.е. общей частью) нескольких полуплоскостей;
- 3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.
Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности
Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.
Свойства многоугольников:
1 Каждая диагональ выпуклого -угольника, где >3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.
2 Сумма всех углов выпуклого -угольника равна.
Д-во: Теорему докажем методом математической индукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где <, и докажем ее для -угольника.
Пусть- данный многоугольник. Проведем диагональ этого многоугольника. По теореме 3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис. 5). По предположению индукции. С другой стороны, . Складывая эти равенства и учитывая, что ( - внутренний луч угла ) и (- внутренний луч угла), получаем.При получаем: .
3 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и - биссектрисы углов, и (рис. 150). Так как, то, следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА 2 = О =… = ОА п . Треугольник О равнобедренный, поэтому О = О . По второму признаку равенства треугольников, следовательно, О = О . Аналогично доказывается, что О = О и т.д. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.
Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, А 2 , . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника… нельзя описать более чем одну окружность.
- 4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.
- 5 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
- 6 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
- 7 Симметрия:
Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична), если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.
- 7.1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.
- 7.2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120°.
7.3 У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота.
При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.
При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.
Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.
8 Подобие:
При подобии и -угольник переходит в -угольник, полуплоскость - в полуплоскость, поэтому выпуклый n -угольник переходит в выпуклый n -угольник.
Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников иудовлетворяют равенствам:
где - коэффициент подия
то эти многоугольники подобны.
- 8.1 Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.
- 8.2. Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
многоугольник треугольник периметр теорема
На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.
Тема: Четырехугольники
Урок: Многоугольники
В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах - многоугольниках .
С частным случаем многоугольников мы уже знакомы - это треугольник (см. Рис. 1).
Рис. 1. Треугольник
В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.
Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник
Определение. Многоугольник - фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.
Определение. Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .
Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).
Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).
Определение. Периметр многоугольника - сумма длин сторон многоугольника.
Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.
Рис. 3. Невыпуклый многоугольник
Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .
Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.
Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.
Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.
Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.
Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их.
Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).
Где - количество его углов (сторон).
Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.
Рис. 4. Выпуклый n-угольник
Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника - , то сумма внутренних углов n-угольника:
Что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.
Рис. 5.
Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем:
Что и требовалось доказать.
Доказано.
По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов - и т.д.
Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).
Где - количество его углов (сторон), а , …, - внешние углы.
Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.
Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами
Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то 
и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:
В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .
Доказано.
Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 
от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Домашнее задание
Владение терминологией, а также знание свойств различных геометрических фигур помогут в решении многих задач по геометрии. Изучая такой раздел как планиметрия, учащийся не редко встречает термин “многоугольник”. Какую фигуру характеризует данное понятие?
Многоугольник – определение геометрической фигуры
Замкнутая ломаная линия, все участки которой лежат в одной плоскости и не имеют участков самопересечения, образует геометрическую фигуру под названием многоугольник. Число звеньев ломаной должно быть не менее 3-х. Иными словами, многоугольник определяется как часть плоскости, границей которой выступает замкнутая ломаная.
В ходе решения задач с участием многоугольника, нередко фигурируют такие понятия как:
- Сторона многоугольника. Данный термин характеризует отрезок (звено) ломаной цепи искомой фигуры.
- Угол многоугольника (внутренний) – угол, который формируют 2 смежных звена ломаной.
- Вершина многоугольника определяется как вершина ломаной.
- Диагональ многоугольника – отрезок, соединяющие любые 2 вершины (кроме соседних) многоугольной фигуры.
При этом число звеньев и число вершин ломаной в пределах одного многоугольника совпадают. В зависимости от количества углов (или отрезков ломаной соответственно) определяется и вид многоугольника:
- 3 угла – треугольник.
- 4 угла – четырехугольник.
- 5 углов – пятиугольник и т.д.
Если многоугольная фигура имеет равные углы и соответственно стороны, то говорят, что данный многоугольник правильный.
Типы многоугольников
Все многоугольные геометрические фигуры разделяются на 2 типа – выпуклые и вогнутые.
- Если любая из сторон многоугольника после продолжения до прямой не образует с собственно фигурой точек пересечения, перед вами выпуклая многоугольная фигура.
- Если после продолжения стороны (любой) полученная прямая пересекает многоугольник, речь идет о вогнутом многоугольнике.
Свойства многоугольника
Вне зависимости от того, является изучаемая многоугольная фигура правильной или нет, она обладает приведенными ниже свойствами. Так:
- Ее внутренние углы суммарно образуют (p – 2)*π, где
π – радианная мера развернутого угла, соответствует 180°,
p – число углов (вершин) многоугольной фигуры (p-угольника).
- Количество диагоналей всякой многоугольной фигуры определяется из соотношения p*(p – 3) / 2, где
p – число сторон p-угольника.
Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.
Определение 1
Многоугольник
— это фигура, составленная из отрезков
так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Определение 2
Многоугольником называется простая замкнутая .
Точки
называются вершинами многоугольника , отрезки
— сторонами многоугольника .
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .
Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .
Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.
Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.
Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .
Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.
Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали
(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).
Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.
Следовательно, n — угольник имеет
диагонали.
Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.