Содержание статьи
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ – плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам, импульсам или квантовым состояниям. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем, которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров. Даже в стационарных внешних условиях само состояние системы может быть таким, что результат измерения некоторого его параметра является случайной величиной. Функция распределения в подавляющем большинстве случаев содержит в себе всю возможную и потому исчерпывающую информацию о свойствах таких систем.
В математической теории вероятностей и математической статистике функция распределения и плотность вероятности отличаются друг от друга, но однозначно связаны между собой. Ниже речь пойдет почти исключительно о плотности вероятности, которую (согласно принятой в физике давней традиции) называют плотностью распределения вероятности или функцией распределения, ставя знак равенства между этими двумя терминами.
Случайное поведение в той или иной мере характерно для всех квантовомеханических систем: элементарные частицы, атомы молекулы и т.п. Однако случайное поведение – это не специфическая черта только квантовомеханических систем, многие чисто классические системы обладают этим свойством.
Примеры.
При бросании монеты на твердую горизонтальную поверхность, неясно, как она ляжет: цифрой вверх или гербом. Известно, что вероятности этих событий, при определенных условиях, равны 1/2. При бросании игральной кости нельзя с уверенностью сказать, какая из шести цифр окажется на верхней грани. Вероятность выпадения каждой из цифр при определенных предположениях (кость – однородный куб без сколотых ребер и вершин падает на твердую, гладкую горизонтальную поверхность) равна 1/6.
Хаотичность движения молекул в наибольшей степени проявляется в газе. Даже в стационарных внешних условиях, флуктуируют (меняются случайным образом) точные значения макроскопических параметров, и только их средние значения при этом постоянны. Описание макроскопических систем на языке средних значений макропараметров и составляет суть термодинамического описания ().
Пусть есть идеальный одноатомный газ и три его (еще не усредненных) макроскопических параметра: N – число атомов, движущихся внутри сосуда, занятого газом; P –давление газа на стенку сосуда и – внутренняя энергия газа. Газ идеальный и одноатомный, поэтому его внутренняя энергия есть просто сумма кинетических энергий поступательного движения атомов газа.
Число N флуктуирует, по крайней мере, из-за процесса сорбции (прилипания к стенке сосуда при соударении с ней) и десорбции (процесса отлипания, когда молекула отрывается от стенки сама по себе или в результате удара по ней другой молекулы), наконец, процесса образования кластеров – короткоживущих комплексов из нескольких молекул. Если бы Можно было измерять N мгновенно и точно, то полученная зависимость N (t ) была бы похожей на изображенную на рисунке.
Размах флуктуаций на рисунке для наглядности сильно завышен, но при небольшом среднем значении (бN с ~ 10 2) числа частиц в газе он примерно таким и будет.
Если выбрать маленькую площадку на стенке сосуда измерять силу, действующую на эту площадку в результате ударов молекул газа, находящегося в сосуде, то отношение среднего значения нормальной к площадке компоненты этой силы к площади площадки и принято называть давлением. В разные моменты времени к площадке будет подлетать разное количество молекул, причем с разными скоростями. В результате, если бы можно было измерять эту силу мгновенно и точно, была бы картина, подобная изображенной на рисунке, нужно только изменить обозначения по вертикальной оси:
N (t ) Ю P (t ) и бN (t )с Ю бP (t )с.
Практически все то же справедливо и для внутренней энергии газа , только процессы, приводящие к случайным изменениям данной суммы другие. Например, подлетая к стенке сосуда, молекула газа сталкивается не с абстрактной абсолютно упруго и зеркально отражающей стенкой, а с одной из частиц, составляющих материал этой стенки. Пусть стенка стальная, тогда это ионы железа, колеблющиеся около положений равновесия – узлов кристаллической решетки. Если молекула газа подлетает к стенке на той фазе колебаний иона, когда он движется ей навстречу, то в результате соударения молекула отлетит от стенки со скоростью большей чем подлетала. Вместе с энергией этой молекулы увеличится и внутренняя энергия газа E . Если молекула сталкивается с ионом, движущемся в том же направлении, что и она, то отлетит эта молекула со скоростью меньшей, чем та, с которой она полетала. Наконец, молекула может попасть в междуузелье (пустое место между соседними узлами кристаллической решетки) и застрять там, так, что даже сильным нагревом ее не извлечь оттуда. В последних двух случаях внутренняя энергия газа E уменьшится. Следовательно, E (t ) – также случайная функция времени и – среднее значение этой функции.
Броуновское движение.
Определив положение броуновской частицы в некоторый момент времени t 1, можно точно предсказать только то, что ее положение в последующий момент времени t 2 не превышает (t 2 – t 1)·c , где c – скорость света в вакууме.
Различают случаи дискретного и непрерывного спектра состояний и, соответственно, переменной x . Под спектром значений некоторой переменной понимается вся совокупность возможных ее значений.
В случае дискретного спектрасостояний для задания распределения вероятностей нужно, во-первых, указать полный набор возможных значений случайной переменной
x 1, x 2, x 3,… x k,… (1)
и, во-вторых, их вероятности:
W 1, W 2, W 3,… W k,… (2)
Сумма вероятностей всех возможных событий должна быть равна единице (условие нормировки)
Описание распределения вероятностей соотношениями (1) – (3) невозможно в случае непрерывного спектра состояний и, соответственно, непрерывного спектра возможных значений переменной x . Пусть x принимает все возможные действительные значения в интервале
x О [a , b ] (4)
где a и b необязательно конечны. Например, для модуля вектора скорости молекулы газа V О , лежащему внутри всего интервала возможных значений, т.е. x О [x , x + Dx ] О [a , b ] (5)
Тогда вероятность DW (x , Dx ) попадания x в интервал (5) равна
Здесь N – полное число измерений x , а Dn (x , Dx ) – число результатов, попавших в интервал (5).
Вероятность DW естественно зависит от двух аргументов: x – положения интервала внутри [a , b ] и Dx – его длины (предполагается, хотя это совершенно необязательно, что Dx > 0). Например, вероятность получения точного значения x , другими словами, вероятность попадания x в интервал нулевой длины есть вероятность невозможного события и потому равна нулю: DW (x , 0) = 0
С другой стороны, вероятность получить значение x где-то (все равно где) внутри всего интервала [a , b ] есть вероятность достоверного события (уж что-нибудь всегда получается) и потому равна единице (принимается, что b > a ): DW (a , b – a ) = 1.
Пусть Dx мало. Критерий достаточной малости зависит от конкретных свойств системы, которую описывает распределение вероятностей DW (x , Dx ). Если Dx мало, то функцию DW (x , Dx ) можно разложить в ряд по степеням Dx :
Если нарисовать график зависимости DW (x , Dx ) от второго аргумента Dx , то замена точной зависимости приближенным выражением (7) означает замену (на небольшом участке) точной кривой куском параболы (7).
В (7) первое слагаемое равно нулю точно, третье и последующие слагаемые при достаточной малости Dx можно опустить. Введение обозначения
дает важный результат DW (x , Dx ) » r(x )·Dx (8)
Соотношение (8), выполняемое тем точнее, чем меньше Dx означает, что при малой длине интервала, вероятность попадания в этот интервал пропорциональна его длине.
Можно еще перейти от малого, но конечного Dx к формально бесконечно малому dx , с одновременной заменой DW (x , Dx ) на dW (x ). Тогда приближенное равенство (8) превращается в точное dW (x ) = r(x )·dx (9)
Коэффициент пропорциональности r(x ) имеет простой смысл. Как видно из (8) и (9), r(x ) численно равно вероятности попадания x в интервал единичной длины. Поэтому одно из названий функции r(x ) – плотность распределения вероятностей для переменной x .
Функция r(x ) содержит в себе всю информацию о том, как вероятность dW (x ) попадания x в интервал заданной длины dx зависит от местоположения этого интервала, т.е. она показывает, как вероятность распределена по x . Поэтому функцию r(x ) принято называть функцией распределения для переменной x и, тем самым, функцией распределения для той физической системы, ради описания спектра состояний которой была введена переменная x . Термины «плотность распределения вероятностей» и «функция распределения» в статистической физике используются как эквивалентные.
Можно рассмотреть обобщение определения вероятности (6) и функции распределения (9) на случай, к примеру, трех переменных. Обобщение на случай произвольно большого числа переменных выполняется точно также.
Пусть случайно меняющееся во времени состояние физической системы определяется значениями трех переменных x , y и z с непрерывным спектром:
x О [a , b ]
y О [c , d ]
z О [e , f ] (10)
где a , b ,…, f , как и ранее, не обязательно конечны. Переменные x , y и z могут быть, например, координатами центра масс молекулы газа, компонентами вектора ее скорости x Ю V x , y Ю V y и z Ю V z или импульса и т.д. Под событием понимается одновременное попадание всех трех переменных в интервалы длины Dx , Dy и Dz соответственно, т.е.:
x О [x , x + Dx ]
y О [y , y + Dy ]
z О [z , z + Dz ] (11)
Вероятность события (11) можно определить аналогично (6)
с тем отличием, что теперь Dn – число измерений x , y и z , результаты которых одновременно удовлетворяют соотношениям (11). Использование разложения в ряд, аналогичного (7), дает
dW (x , y , z ) = r(x , y , z )·dx dy dz (13)
где r(x , y , z ) – функция распределения сразу для трех переменных x , y и z .
В математической теории вероятностей термин «функция распределения» используется для обозначения величины отличающейся от r(x ), а именно: пусть x – некоторое значение случайной переменной x . Функция Ф(x), дающая вероятность того, что x примет значение не большее, чем x и называется функцией распределения. Функции r и Ф имеют разный смысл, но они связаны между собой. Использование теоремы сложения вероятностей дает (здесь а – левый конец интервала возможных значений x (см. ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ): , (14) откуда
Использование приближенного соотношения (8) дает DW (x , Dx ) » r(x )·Dx .
Сравнение с точным выражением (15) показывает, что использование (8) эквивалентно замене интеграла, входящего в (16), произведением подынтегральной функции r(x ) на длину промежутка интегрирования Dx :
Соотношение (17) будет точным, если r = const , следовательно, ошибка при замене (16) на (17) будет невелика, когда подынтегральная функция слабо меняется на длине промежутка интегрирования Dx .
Можно ввести Dx эфф – длину интервала, на котором функция распределения r(x ) меняется существенно, т.е. на величину порядка самой функции, или величина Drэфф по модулю порядка r. Используя формулу Лагранжа, можно написать:
откуда следует, что Dx эфф для любой функции r
Функцию распределения можно считать «почти постоянной» на некотором промежутке изменения аргумента, если ее приращение |Dr| на этом промежутке по модулю много меньше самой функции в точках этого промежутка. Требование |Dr| эфф| ~ r (функция распределения r і 0) дает
Dx x эфф (20)
длина промежутка интегрирования должна быть мала по сравнению с той, на которой подынтегральная функция меняется существенно. Иллюстрацией служит рис. 1.
Интеграл в левой части (17) равен площади под кривой. Произведение в правой части (17) – площадь заштрихованного на рис. 1 столбика. Критерием малости отличия соответствующих площадей является выполнение неравенства (20). В этом можно убедиться, подставляя в интеграл (17) первые члены разложения функции r(x ) в ряд по степеням
Требование малости поправки (второго слагаемого в правой части (21) по сравнению с первым и дает неравенство (20) с Dx эфф из (19).
Примеры ряда функций распределения, играющих важную роль в статистической физике.
Распределение Максвелла для проекции вектора скорости молекулы на заданное направление (для примера, это направление оси OX ).
Здесь m – масса молекулы газа, T – его температура, k – постоянная Больцмана.
Распределение Максвелла для модуля вектора скорости :
Распределение Максвелла для энергии поступательного движения молекул e = mV 2/2
Распределение Больцмана , точнее, так называемая барометрическая формула, которая определяет распределение концентрации молекул или давления воздуха по высоте h от некоторого «нулевого уровня» в предположении, что температура воздуха от высоты не зависит (модель изотермической атмосферы). В действительности температура в нижних слоях атмосферы заметно падает с ростом высоты.
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа , т. е. . Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения - это вероятность того, что случайная точка в результате испытания попадет левее точки .
Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид 
где неравенство означает, что суммирование распространяется на все значения , меньше . Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (рис. 7). При каждом новом значении случайной величины ступень поднимается выше на величину, равную вероятности этого значения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.
Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8). 
Рассмотрим общие свойства функций распределения.
Свойство 1. Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей:
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что .
Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Свойство 3.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. 
.
Свойство 4.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. 
и 
.
Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением
Найти коэффициент и построить график . Определить вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение на интервале .
Универсальным способом задания закона распределения, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения.
Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x ), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x , то есть
F (x ) = P (X < x ).
Основные свойства функции распределения F (x ) :
1. Так как по определению F (x ) равна вероятности события, все возможные значения функции распределения принадлежат отрезку :
0 £ F (x ) £ 1.
2. Если , то , то есть F (x ) - неубывающая функция своего аргумента.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу [a , b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P (a £ X < b ) = F (b ) - F (a ).
4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a , b ], то
F (x ) = 0, при x £ a ; F (x ) = 1, при x > b .
Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле
Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23.
Пример 25. Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид:
| x i | 0,1 | 1,2 | 2,3 | 4,5 |
| p i | 0,1 | 0,2 | 0,6 | 0,1 |
Решение . Определим значения функции F (x ) = P (X < x ) для всех возможных значений x :
при x Î (- ¥; 0,1] нет ни одного значения случайной величины X , меньшего данных значений x , то есть нет ни одного слагаемого в сумме (15):
F (x ) = 0;
при x Î (0,1; 1,2] только одно возможное значение (X = 0,1) меньше рассматриваемых значений x . То есть при x Î (0,1; 1,2] F (x ) = P (X = 0,1) = 0,1;
при x Î (1,2; 2,3] два значения (X = 0,1 и X = 1,2) меньше данных значений x , следовательно, F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;
при x Î (2,3; 4,5] три значения (X = 0,1, X = 1,2 и X = 2,3) меньше данных значений x , следовательно, F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) + P (X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;
при x Î (4,5, ¥) все возможные значения случайной величины X будут меньше данных значений x , и F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) + P (X = 2,3) +
+ P (X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.
Таким образом ,
График функции F (x ) изображен на рисунке 8.
В общем случае, функция распределения F (x ) дискретной случайной величины X есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям х 1 , х 2 , … случайной величины X и равны вероятностям p 1 , p 2 , … этих значений.
Функция распределения непрерывных случайных величин . Теперь можно дать более точное определение непрерывных случайных величин: случайная величина X называется непрерывной , если ее функция распределения F (x ) при всех значениях x непрерывна и, кроме того, имеет производную всюду, за исключением, может быть, отдельных точек.
Из непрерывности функции F (x ) следует, что вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю .
Так как вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, свойство 3 функции распределения для непрерывной случайной величины будет иметь вид
P (a £ X < b ) = P (a £ X £ b ) = P (a < X £ b ) = P (a < X < b ) = F (b ) - F (a ).
Пример 26. Вероятности поражения цели для каждого из двух стрелков соответственно равны: 0,7; 0,6. Случайная величина X - число промахов, при условии, что каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Составить ряд распределения случайной величины X , построить столбцовую диаграмму и функцию распределения.
Решение. Возможные значения данной случайной величины X : 0, 1, 2. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 2 независимых испытаний. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X можно воспользоваться теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий:
Обозначим события:
A i = {i -й стрелок поразил мишень}, i = 1, 2.
Согласно условию, вероятность события A 1 P (A 1) = 0,7, вероятность события A 2 - P (A 2) = 0,6 . Тогда вероятности противоположных событий: , .
Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:
| Элементарные события | События | Вероятности |
| Итого |
(Проверим, что ).
Ряд распределения данной случайной величины X имеет вид
| x i | Итого | |||
| p i | 0,42 | 0,46 | 0,12 |
Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9.
Вычислим функцию распределения данной случайной величины:
при x Î (- ¥, 0] ;
при x Î (0, 1] ;
при x Î (1, 2] ;
при x Î (2, +¥);
Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:
График функции F (x ) приведён на рисунке 10.
Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:
f (x ) = F ¢(x ).
По своему смыслу значения функции f (x ) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x .
Функция плотности распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f (x ) еще называют дифференциальной функцией распределения , тогда как функцию распределения F (x ) называют, соответственно, интегральной функцией распределения .
График функции плотности распределения f (x ) называется кривой распределения .
Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины.
Свойство 1. Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция:
f (x ) ³ 0
(геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс).
Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле
(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f (x ), осью Ох и прямыми x = a и x = b).
Свойство 3.
(геометрически : площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице).
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a , b ], то
Свойство 4. Функция распределения F (x ) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:
Пример 27. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
Определить дифференциальную функцию плотности распределения.
Решение . Определим дифференциальную функцию плотности распределения
Пример 28. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций?
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется случайной величиной?
2. Какие величины называются дискретными? непрерывными?
3. Что называется законом распределения случайной величины?
4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случай-ной величины? непрерывной?
5. Что характеризует функция распределения F(x) случайной величины?
6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения?
7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл.
8. Для каких величин определена функция плотности распределения?
9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные зна-чения?
10. Как связаны между собой функции F(x) и f (x )?
11. Какие случайные величины называются непрерывными?
12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс?
13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной ве-личины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?
Математическое ожидание
Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): 
Задана функция распределения F(x): 
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей 
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }