Квадратный корень как элементарная функция.

Квадратный корень - это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется.

Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.

Построение графика функции квадратного корня.

1. Заполняем таблицу данных:

х
у

2. Наносим точки, которые мы получили на координатную плоскость.

3. Соединяем эти точки и получаем график функции квадратного корня:

Преобразования графика функции квадратного корня.

Определим, какие преобразования функции необходимо сделать для того, чтобы построить графики функций. Определим виды преобразований.

	Вид преобразования	Преобразование
		Перенос функции по оси OY на 4 ед. вверх.
	внутреннее	Перенос функции по оси OX на 1 ед. вправо.
	внутреннее	График приближается к оси OY в 3 раза и сжимается по оси OХ .
		График отдаляется от оси OX OY .
	внутреннее	График отдаляется от оси OY в 2 раза и растягивается по оси OХ .

Зачастую преобразования функций оказываются комбинированными.

Например , нужно построить график функции . Это график квадратного корня , который нужно перенести на одну единицу вниз по оси OY и на единицу вправо по оси ОХ и одновременно растянув в 3 раза его по оси OY .

Бывает непосредственно перед построением графика функции, нужны предварительные тождественные преобразования либо упрощения функций.

8 класс

Учитель: Мельникова Т.В.

Цели урока:

Оборудование:

Компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал.

Презентация к уроку.

ХОД УРОКА

План урока.

Вступительное слово учителя.

Повторение ранее изученного материала.

Изучение нового материала (групповая работа).

Исследование функции. Свойства графика.

Обсуждение графика (фронтальная работа).

Игра в математические карты.

Итоги урока.

I. Актуализация опорных знаний.

Приветствие учителя.

Учитель :

Зависимость одной переменной от другой называется функцией. До сих пор Вы изучили функции y = kx + b; y =к/х, у=х 2 . Сегодня мы продолжим изучение функций. На сегодняшнем уроке вы узнаете, как выглядит график функции квадратного корня, научитесь сами строить графики функций квадратного корня.

Запишите тему урока ( слайд1).

2. Повторение изученного материала.

1. Как называются функции, задаваемые формулами:

а) у=2х+3; б) у=5/х; в) у = -1/2х+4; г) у=2х; д) у=-6/х е) у =х 2 ?

2. Что представляет собой их график? Как он расположен? Укажите область определения и область значения каждой из этих функций (на рис. изображены графики функций, заданные данными формулами, для каждой функции укажите её вид) ( слайд2).

3. Что представляет из себя график каждой функции, как эти графики строятся?

( слайд3, строятся схематически графики функций).

3. Изучение нового материала.

Учитель :

Итак, сегодня мы изучаем функцию
и её график.

Мы знаем, что графиком функции у=х 2 является парабола. Что будет графиком функции у=х 2 , если взять только х≥ 0 ? Является часть параболы - её правая ветвь. Построим теперь график функции
.

Повторим алгоритм построения графиков функций(слайд 4, с алгоритмом )

Вопрос : Как вы считаете, глядя на аналитическую запись функции, можно сказать о том, какие значения х допустимы? (Да, х≥0 ). Так как выражение
имеет смысл при всех х больших или равных 0.

Учитель: В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются зависимости между двумя величинами. Каким графиком можно представить эту зависимость? (групповая работа )

Класс разбивается на группы. Каждая группа получает задание: построить график функции
на миллиметровой бумаге, выполняя все пункты алгоритма. Затем от каждой группы выходит представитель и показывает работу группы. (открывается слад 5, идет проверка, затем график строится в тетрадях)

4. Исследование функции.(продолжается работа вгруппах)

Учитель:

найдите область определения функции;

найдите область значения функции;

определите промежутки убывания (возрастания) функции;

у>0, у<0.

Записывамв результаты( слайд6).

Учитель: Проведем анализ графика. Графиком функции является ветвь параболы.

Вопрос : Скажите, вы встречали где-нибудь этот график раньше?

Посмотрите на график и скажите, пересекает ли он прямую ОХ? (Нет) ОУ? (Нет) . Посмотрите на график и скажите, имеет ли график центр симметрии? Ось симметрии?

Подведем итоги:

Атеперь поверим, как усвоили новую тему и повторили пройденный материал. Игра в математические карты.(правила игры: каждой группе из 5 человек предлагается комплект карточек (25 карт). Каждый игрок получает по 5 карт, на которых написаны вопросы. Первый ученик дает одну из карт второму ученику, который должен ответить на вопрос из карточки. Если ученик отвечает на вопрос, то карта бита, если нет, то ученик забирает карту себе и предает ход и т.д. всего 5 ходов. Если у ученика не осталось карт, то оценка -5, осталась 1 карта-оценка 4, 2 карты – оценка 3, 3 карты – оценка- 2)

5. Итоги урока. (выставляются оценки обучающимся по контрольным листам)

Задание на дом.

Изучить п.8.

Решить №172, №179, №183.

Подготовить сообщения на тему “Применение функции в различных областях науки и в литературе”.

Рефлексия.

Покажите свое настроение с помощью картинок на вашем столе.

Сегодня урок

Мне понравилось.

Мне не понравилось.

Материал урока я (понял, не понял).

Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Содержание

Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(1.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »

Корни - определение, формулы, свойства

Корень из числа x степени n - это число , возведение которого в степень n дает x :
.
Здесь n = 2, 3, 4, ... - натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень из числа x степени n - это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x - это корень степени 2: .
Кубический корень из числа x - это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2 m , корень определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x :
.
Для квадратного корня:
.

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x :
;
.

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией:
.
При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:
;
;
, ;
.

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.

y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Если , то .

Производная степенной функции

Производная n-го порядка:
;

Вывод формул > > >

Интеграл от степенной функции

P ≠ - 1 ;
.

Разложение в степенной ряд

При - 1 < x < 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z :
f(z) = z t .
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q .
Имеем:

Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
,

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени - действительное число, t = p . Тогда
.

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде:
, где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n величин, при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 , дают n различных значений kp :
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0 + n имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2 π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p , что и для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n - й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ 0 = 0 , z = r = |z| = x , .
.
Так, для квадратного корня, n = 2 ,
.
Для четных k, (- 1 ) k = 1 . Для нечетных k, (- 1 ) k = - 1 .
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Основные цели:

1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением у=

2) формировать способность к построению графика у= и его свойства;

3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня.

Оборудование, демонстрационный материал: раздаточный материал.

1. Алгоритм:

2. Образец для выполнения задания в группах:

3. Образец для самопроверки самостоятельной работы:

4. Карточка для этапа рефлексии:

1) Я понял, как построить график функции у=.

2) Я могу по графику перечислить его свойства.

3) Я не допустил ошибок в самостоятельной работе.

4) Я допустил ошибки в самостоятельной работе (перечислить эти ошибки и указать их причину).

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с действительными числами.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Что мы изучали на прошлом уроке? (Мы изучали множество действительных чисел, действия с ними, построили алгоритм для описания свойств функции, повторяли функции изученные в 7 классе).

– Сегодня мы продолжим работать с множеством действительных чисел, функцией.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа:

1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: функция, независимая переменная, зависимая переменна, графики

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 ,

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Давайте вспомним как можно задать зависимости между величинами? (С помощью текста, формулы, таблицы, графика)

2. Что называется функцией? (Зависимость между двумя величинами, где каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной y = f(x)).

Как называется х? (Независимая переменная - аргумент)

Как называется у? (Зависимая переменная).

3. В 7- м классе мы изучили функции? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Индивидуальное задание:

Что является графиком функций y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

2) согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Что особенного в этом задании? (Зависимость задана формулой y = с которой мы еще не встречались).

– Какая цель урока? (Познакомиться с функцией y = , ее свойствами и графиком. Функцией в таблице определять вид зависимости, строить формулу и график.)

– Можно сформулировать тему урока? (Функция у=, ее свойства и график).

– Запишите тему в тетради.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Работу на этапе можно организовать по группам, предложив группам построить график y = , затем проанализировать получившиеся результаты. Также группам можно предложить по алгоритму описать свойства данной функции.

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Постройте график у= - и опишите его свойства.

Свойства у= - .

1.Область определения функции.

2.Область значений функции.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0, если x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Возрастания, убывания функции.

Функция убывает при х .

Построим график у=.

Выделим его часть на отрезке . Заметим, что у наим. = 1 при х = 1, а у наиб. =3 при х = 9.

Ответ: у наим. = 1, у наиб. =3

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, проводят самопроверку по эталону, анализируют, исправляют ошибки.

Построим график у=.

С помощью графика найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: 2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.

Организация учебного процесса на этапе 7:

Решите графически уравнение: = х – 6.

Один ученик у доски остальные в тетрадях.

8. Рефлексия деятельности

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Ребята, какая цель стояла сегодня перед нами? (Изучить функцию у=, ее свойства и график).

– Какие знания нам помогли в достижении цели? (Умение искать закономерности, умение читать графики.)

– Проанализируйте свою деятельность на уроке. (Карточки с рефлексией)

Домашнее задание

п. 13 (до примера 2) № 13.3, 13.4

Решите графически уравнение.

← Вернуться